My code:

public class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        if (s == null || t == null) {
            return 0;
        }
        else if (s.length() == 0) {
            return 0;
        }
        else if (t.length() == 0) {
            return s.length();
        }
        
        int m = s.length();
        int n = t.length();
        int[][] dp = new int[m][n];
        int counter = 0;
        char target = t.charAt(0);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            char curr = s.charAt(i);
            if (curr == target) {
                counter++;
            }
            
            dp[i][0] = counter;
        }
        
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

真的沒想到這道題目我可以自己做出來。。。還是很興奮的。

iteration DP
dp[i][j] 表示， s[0, i] 與 t[0, j] 的 distinct subsequences
那么遞推式是什么呢？
假設給了我們這兩個string
s[0, i] 與 t[0, j]

那么，

dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (t[j] == s[i]) {
    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
}

即， dp[i][j] 至少等于 dp[i - 1][j]
如果 s[i] == t[j]
那么，還要看 s[0, i - 1] 與 t[0, j - 1] 的匹配狀態，
即， dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1]

這么一看，思路好像很簡單。
這就是DP吧。其實我一開始思路也沒有直接就這么簡潔。
提交了幾次，失敗后，再看代碼邏輯，逐漸改出來的。

初始狀態是什么？
dp[i][0], 看 s[0, i] 里面有多少個字母 == t[0]
dp[0][j] = 0, j > 0

差不多就這樣了吧。

然后我發現DP做到現在大致分為四類題目。

第一種的典型題目是
burst ballon
給你一個數組，你需要 divide and conquer, 將數組整體劈成兩個獨立的個體，分別計算，再統計結果。中間加上cache以加快速度。
from top to bottom
也可以用iteration DP來做，但很難想到。

edit distance
兩個string，完全可以用 dp[][] 來解決。這道題目也是這個類型。
不是劈開。而是從無到有，從底到頂
from bottom to top

house robbing, best time to buy and sell stock with cooldown
狀態機, state machine. 畫出 狀態機，然后照著寫出dp遞歸式，就差不多了。

perfect square, climbing stair, Integer Break
這些都是生成一個數組， nums[n]
然后， nums[i] 與 nums[0, i - 1] 有關。
比如， perfect square, nums[i] 可能 =
nums[1] + nums[i - 1]
nums[2] + nums[i - 2]
nums[3] + nums[i - 3]
...

然后采用某種策略，省去一些多余的例子。
Integer break 也是如此。

這只是我的一種感覺，理論上肯定有很多不足。但對解決DP題目還是會有一定幫助的。就像看到時間要求如果有含 log n 項， 那么，就一定存在 binary search 這樣的東西。

Anyway, Good luck, Richardo! -- 08/27/2016