動態規劃是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優化的數學方法，通常情況下應用于最優化問題，這類問題一般有很多個可行的解，每個解有一個值，而我們希望從中找到最優的答案。
在計算機科學領域，應用動態規劃的思想解決的最基本的一個問題就是：尋找有向無環圖（籬笆網絡）當中兩個點之間的最短路徑（實際應用于地圖導航、語音識別、分詞、機器翻譯等等）。
下面舉一個比較簡單的例子做說明：求S到E的最短路徑。如下圖（各點之間距離不相同）：
我們知道，要找到S到E之間最短路徑，最容易想到的方法就是窮舉法。也就是把所有可能的路徑都例舉出來。從S走向A層共有4種走法，從A層走向B層又有4種走法，從B層走向C層又有4種走法，然后C層走向E點只有一種選擇。所以最終我們窮舉出了4X4X4=64種可能。顯然，這種方法必定可行。但在實際的應用當中，對于數量極其龐大的結點數和邊數的圖，其計算復雜度也將會變得非常大，而計算效率也會隨之降低。
因此，這里選擇使用一種基于動態規劃的方式來尋找最佳路徑。
所謂動態規劃。其核心就是“動態”的概念，把大的問題細分為多個小的問題，基于每一步的結果再去尋找下一步的策略，通過每一步走過之后的局部最優去尋找全局最優。這樣解釋比較抽象，下面直接用回剛剛的例子說明。如下圖：
首先，我們假設S到E之間存在一條最短路徑（紅色），且這條路徑經過C2點，那么我們便一定能夠確定從S到C2的64條（4X4X4=64）子路徑當中，該子路徑一定最短。（證明：反證法。如果S到C2之間存在一條更短的子路徑，那么便可以用它來代替原先的路徑，而原先的路徑顯然就不是最短了，這與原假設自相矛盾）。
同理，我們也可以得出從S到B2點為兩點間最短子路徑的結論。這時候，真相便慢慢浮出水面：既然如此，我們計算從S點出發到點C2的最短路徑，是不是只要考慮從S出發到B層所有節點的最短路徑就可以了？答案是肯定的！因為，從S到E的“全局最短”路徑必定經過在這些“局部最短”子路徑。沒錯！這就是上面提及到的通過局部最優的最優去尋找全局最優，問題的規模被不斷縮小！
接下來，要揭曉答案了！繼續看下圖：
回顧之前的分析：我們計算從S起到C2點的最短路徑時候只需要考慮從S出發到B層所有節點的最短路徑，B層也如是。對B2來說，一共有4條路線可以到達，分別是A1→B2，A2→B2，A3→B2，A4→B2。我們需要做的就是把A2→B2這條最短路線保留，而其他3條刪除掉（因為根據以上的分析，它們不可能構成全程的最短路線）。OK，來到這里，我們會發現一個小“漏洞”，這段S→A2→B2→C2→E的路線只是我一廂情愿的假設，最短路徑不一定是經過以上這些點。所以，我們要把每層的每個節點都考慮進來。
以下是具體的做法：
step1：從點S出發。對于第一層的3個節點，算出它們的距離d（S,A1）,d（S,A2）,d（S,A3）,d（S,A4），因為只有一步，所以這些距離都是S到它們各自的最短距離。
step2：對于B層的所有節點（B1,B2,B3,B4），要計算出S到它們的最短距離。我們知道，對于特定的節點B2，從S到它的路徑可以經過A層的任何一個節點（A1,A2,A3,A4）。對應的路徑長就是d（S,B2）=d（S,Ai）+d（Ai,B2）（其中i=1,2,3,4）。由于A層有4個節點（即i有4個取值），我們要一一計算，然后找到最小值。這樣，對于B層的每個節點，都需要進行4次運算，而B層有4個節點，所以共有4X4=16次運算。
step3：這一步是該算法的核心。我們從step2計算得出的結果只保留4個最短路徑值（每個節點保留一個）。那么，若從B層走向C層來說，該步驟的基數已經不再是4X4，而是變成了4！也就是說，從B層到C層的最短路徑只需要基于B層得出的4個結果來計算。這種方法一直持續到最后一個狀態，每一步計算的復雜度為相鄰兩層的計算復雜度為4X4乘積的正比！再通俗點說，連接這兩兩相鄰層的計算符合變成了“+”號，取代了原先的“X”號。用這種方法，只需進行4X4X2=32次計算！
其實上述的算法就是著名的維特比算法，事實上非常簡單！
若假設整個網格的寬度為D，網格長度為N，那么若使用窮舉法整個最短路徑的算法復雜度為O（DN），而使用這種算法的計算復雜度為O（ND2）。試想一下，若D與N都非常大，使用維特比算法的效率將會提高幾個數量級！
代碼實現（C語言版）：
同樣是實現從S到E的最短路徑。不過這次把剛剛的情況簡化了一下，原理是相同的。
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#define x 9999
#define max 9999
int data[10][10];
int dist[10];//記錄最短路徑為多少
int path[10];//記錄最短路徑
int kmin(int,int);
void fpath(int a[][10]);
int froute(int a[][10]);
void main()
{
int i,m;
int a[10][10]=
{
{x,4,2,3,x,x,x,x,x,x},
{x,x,x,x,10,9,x,x,x,x},
{x,x,x,x,6,7,10,x,x,x},
{x,x,x,x,x,3,8,x,x,x},
{x,x,x,x,x,x,x,4,8,x},
{x,x,x,x,x,x,x,9,6,x},
{x,x,x,x,x,x,x,5,4,x},
{x,x,x,x,x,x,x,x,x,8},
{x,x,x,x,x,x,x,x,x,4},
{x,x,x,x,x,x,x,x,x,x}
};
/*for (i=0;i<10;i++)
{
for(j=0;j<10;j++)
printf("%d ",a[i][j]);
printf("\n");
}*/
fpath(a);
printf("最短路徑大小為: %d\n",dist[9]);
m=froute(a);
for(i=m-1;i>=0;i--)
printf("最短路徑經過: %d\n",path[i]);
}
void fpath(int a[][10])
{
int i,j,k;42 dist[0]=0;
for(i=1;i<10;i++)
{
k=max;
for(j=0;j<i;j++)
{
if(a[j][i]!=x)
if((dist[j]+a[j][i])<k)
k=dist[j]+a[j][i];
}
dist[i]=k;
}
}
int froute(int a[][10])
{
int j,b,k=1,i=9;
path[0]=10;
while(i>0)
{
for(j=i-1;j>=0;j--)
{
if(a[j][i]!=x)
{
b=dist[i]-a[j][i];
if(b==dist[j])
{
path[k++]=j+1;
i=j;
break;
}
}
}
}
return k;
}
