組合數(shù)學(xué)部分：

基礎(chǔ)公式：

定義:從n個(gè)不同的元素中, 取r個(gè)并按次序排列, 稱為從n中取r個(gè)的一個(gè)排列, 全部這樣的排列數(shù)記為P(n, r).

$P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=\frac{n!}{ (n-r)!}$

定義: 從n個(gè)不同的元素中, 取r個(gè)但是不考慮次序時(shí)候, 稱為從n中取r個(gè)的一個(gè)組合, 全部這樣的組合總數(shù)記為C(n, r).

$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!} =\frac{n!}{(n-r)!r !}$

定義: 從n個(gè)不同的元素中, 取r個(gè)沿一圓周排列, 稱為從n中取r個(gè)的一個(gè)圓周排列, 全部這樣的排列數(shù)記為Q(n, r).

$Q{(n,r)}=\frac{P(n,r)}{r}$ ? ? ? $Q(n,n)=(n-1)!$

牛頓二項(xiàng)式公式：

$（1+x）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kx^k$

$（1+ax）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^ka^kx^k$

推廣牛頓二項(xiàng)式公式:

$（1+x）^{-n} = \sum_{k=0}^∞C_{-n}^kx^k$ ? ? ? ? ? ? ? $C_{-n}^k ={(-1)}^kC_{n+k-1}^k$

${(1+x)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞{(-1)}^kC_{n+k-1}^kx^k$

${(1-x)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞C_{n+k-1}^kx^k , -1<x<1$

常用公式：

$（1-x）^{\frac{1}{2} } = 1-{\frac{1}{2} }x-{\frac{1}{8} }x^2-{\frac{1}{16} }x^3-{\frac{1}{128} }x^4-...-{\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} }x^k-..., -1\leq x\leq 1$

第二類Stirling數(shù) $S(n,k)$ 有以下性質(zhì)(用于等價(jià)關(guān)系劃分個(gè)數(shù)計(jì)算)：

$S(n,1) = S(n,n) =1$ ;

$S(n,2)=2^{n-1}-1$ ;

$S(n,n-1)=C(n,2)$ ;

$S(n,k)=kS(n-1,k)+S(n-1,k-1)$ .

多重集合的一個(gè)r組合， $S=\{ ∞\cdot 1,∞\cdot 2, ...,∞\cdot k\}$ ，則這個(gè)序列個(gè)數(shù)等于S的r組合個(gè)數(shù)為 $C_{（r+k-1,r)}$ ,用一一對(duì)應(yīng)的方法來做。

母函數(shù)與遞歸關(guān)系：

設(shè)多重集 $S=\{ ∞\cdot a_{1},∞\cdot a_{2}, ...,∞\cdot a_{k}\}$ , 則的 r-(可重)排列數(shù)是 $k^r$ .

定理：設(shè) $S=\{ n_{1}\cdot a_{1}, n_{2}\cdot a_{2}, ..., n_{k}\cdot a_{k}\}$ ，且 $n=\sum_{i=1}^kn_{i}$ ,則S的排列數(shù)等于 $\frac{n!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot ...\cdot n_{k}!}$

定義: 利用給定序列 $a_{0},a_{1},a_{2} ,…$ 所構(gòu)造的函數(shù) $F(x)= a_{0} +a_{1}x+a_{2}x^2+…$

? 稱為序列 $a_{0},a_{1},a_{2} ,…$ 的母函數(shù)

母函數(shù)的運(yùn)算

? 設(shè)序列 $\{a_{i} \}$ 的母函數(shù) $A(x)=\sum_{k=0}^i a_{k} x^k$ , $\{b_{i} \}$ 的母函數(shù)為 $B(x)=\sum_{k=0}^i b_{k} x^k$ . 運(yùn)算定義如下:

(1) 相等:A(x)=B(x) <=> $\{a_{i} \}$ = $\{b_{i} \}$ <=> $a_{i}$ = $b_{i}$ ,? i=1,2,…

(2) 相加:? A(x)+B(x)= $\sum_{k=0}^i( a_{k}+b_{k}) x^k$

(3) 相減:? A(x)-B(x)= $\sum_{k=0}^i( a_{k}-b_{k}) x^k$

(4) 數(shù)乘:? cA(x)= $\sum_{k=0}^ic a_{k} x^k$

(5) 相乘:? A(x)B(x)= $\sum_{k=0}^ic_{k}x^k?$ , 其中

? ? ? $c_{0}$ = $a_{0} b_{0}$ ,

? ? ? $c_{1}$ = $a_{0} b_{1} +a_{1} b_{0}$

? ? ? $c_{2}$ = $a_{0} b_{2} +a_{1} b_{1} +a_{2} b_{0} ,...............,$

? ? ? $c_{r}$ = $a_{0} b_{r} +a_{1} b_{r-1} +...+a_{r} b_{0} ,...........$

(6) 逆: 如果A(x)B(x)=1, 則稱B(x)為A(x)的逆, 記為B(x)= $A^{-1}(x)$ = $1/A(x)$ .

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 +...$

一元二次方程的根的通解： $x = \frac{ -b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a }$

常系數(shù)齊次遞歸關(guān)系：

$H_{n}- a_{1}H_{n-1}- a_{2}H_{n-2}-...- a_{r}H_{n-r} = 0$

如 $a_{r}\neq 0$ ，則遞歸關(guān)系上式為一元 $r$ 次方程，即 $r$ 次特征方程如下：

$x^r- a_{1}x^{r-1}- a_{2}x^{r-2}-...- a_{r-1}x-a_{r} = 0$

設(shè) $q_{i}$ （i=1,2,...）為特征方程的根，則有：

如果 $q_{i}$ 為不同實(shí)數(shù)根則 $H_{n}$ 的一般解如下：

$H_{n}=c_{1}q_{1}^n + c_{2}q_{2}^n +...+c_{r}q_{r}^n?$

如果 $q_{i}$ 為i個(gè)重復(fù)特征根則 $H_{n}$ 的一般解如下：

$H_{n}=（c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^2 ...+c_{{e_{i}}}n^{e_{i}-1}）q_{i}^n?$

當(dāng)特征方程為二次方程， $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 是特征方程的，當(dāng) $q_{1} \neq q_{2}$ 時(shí)， $H_{n}=b_{1}q_{1}^n+b_{2}q_{2}^n$ ，當(dāng) $q_{1}=q_{2}=q$ （重根），則 $H_{n}=(b_{1}+b_{2}n)q^n$ 。

僅有兩個(gè)復(fù)特征根：

當(dāng)特征根為復(fù)數(shù)時(shí)，則有任意復(fù)數(shù) $a+bi$ 都可以寫成 $ce^{id}$ ,故可設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)特征根如下：

$\alpha _{1} = \delta? + i\omega? = \rho e^{i\theta }? = \rho (\cos \theta? + i\sin \theta? )$

$\alpha _{1} = \delta? - i\omega? = \rho e^{-i\theta }? = \rho (\cos \theta? - i\sin \theta? )$

其中 $\rho = \sqrt{\delta ^2 + \omega? ^2}$

圖論：

歐拉公式： $R+V-E =2, R\geq? 2$ ，R為區(qū)域，V為頂點(diǎn)，E為邊。

一個(gè)無向圖 $G_{(V,E)}$ 是連通圖，那么E的數(shù)目大于等于頂點(diǎn)的數(shù)目減1，即 $|E|\geq? |V| -1$ 。

在無向圖中，頂點(diǎn)所具有的邊的數(shù)目稱為頂點(diǎn)的度。

在有向圖中，以頂點(diǎn)為頭的邊的數(shù)目稱為該頂點(diǎn)的入度；以頂點(diǎn)為尾的邊的數(shù)目稱為該頂點(diǎn)的出度；一個(gè)頂點(diǎn)的入度與出度之和稱為該頂點(diǎn)的度。

完全二部圖的定義：設(shè)G=(V，E)為二分圖，V=XUY，且X中的任一頂點(diǎn)與Y中每一個(gè)頂點(diǎn)均有且僅有唯一的一條邊相連，則稱G為完全二部圖或完全偶圖。

【定理一】圖G是2-可著色的當(dāng)且僅當(dāng)G是二部圖。

【定理二】奇圈和奇數(shù)階輪圖都是3-色圖，而偶數(shù)階輪圖都是4-色圖。

【定理三】樹的著色數(shù)為2。

K6圖進(jìn)行紅藍(lán)兩種顏色隨機(jī)對(duì)邊進(jìn)行染色，一定存在一給藍(lán)色或者紅色三角形，利用鴿巢原理進(jìn)行求解。

離散數(shù)學(xué)部分：

蘊(yùn)含條件：

P是Q的充分條件時(shí)用： $P \rightarrow Q$

? ? ? ? ? ? ? ? 一般詞匯：（如果P那么Q，只要P就Q，P就Q）

Q是P的必要條件時(shí)用： $Q \rightarrow P$

? ? ? ? ? ? ? ? 一般詞匯：（只有P才Q，僅當(dāng)P才Q，Q僅當(dāng)P）

Q是P的充分且必要條件時(shí)用： $Q \leftrightarrow P$

? ? ? ? ? ? ? ? 一般詞匯：（當(dāng)且僅當(dāng)，充分且必要）

等價(jià)公式：

$P \rightarrow? Q \Leftrightarrow? ┐P? \lor Q$

$P \leftrightarrow? Q \Leftrightarrow? (P \rightarrow? Q) \land (Q \rightarrow? P)$

$P \leftrightarrow? Q \Leftrightarrow? (┐P \leftrightarrow? ┐Q)$

$P \leftrightarrow? Q \Leftrightarrow? (P \land Q) \lor (┐Q \land? ┐P)$

推理定律：

$A \Rightarrow? （A \lor? B）$ ? ? ? ? ? ? ? （附加）

$（A \land B） \implies A$ ? ? ? ? （化簡(jiǎn)）

$((A \rightarrow? B) \land A) \implies? B$ ? ? ? （假言推理）

主析取范式： $A_{1} \lor A_{2} \lor? A_{3} \lor ... \lor A_{n}$ 其中 $A_{i}$ 是包含所有變?cè)以撟冊(cè)星覂H出現(xiàn)一次的合取式，稱為小項(xiàng)。有n個(gè)變?cè)?，則有 $2^n$ 。

主合取范式： $A_{1} \land A_{2} \land? A_{3} \land ... \land A_{n}$ 其中 $A_{i}$ 是包含所有變?cè)以撟冊(cè)星覂H出現(xiàn)一次的析取式，稱為大項(xiàng)。有n個(gè)變?cè)?，則有 $2^n$ 。

集合論：

冪集定義： $P(A) = \{x | x \subseteq A \}$ 即全部子集。實(shí)例： $P(?) = \{?\}$ , $P(\{?\}) = \{?,\{?\}\}$ ，計(jì)數(shù)：如果|A|=n，則|P(A)| = $2^n$

【定理】非空集合S關(guān)于它上面的任何等價(jià)關(guān)系R的商集具有下列特點(diǎn)：S/R ≠ ?；若A∈S/R，則A ≠ ?；若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B = ?.

【定義】設(shè)A為非空集合，若存在A的一個(gè)子集族 $A`$ 滿足： $? \notin A ^ `；\cup A ^ ` = A；\forall x,y \in? A ^ ` \land x\neq? y \rightarrow? x \cap y = ?$ , 則稱 $A`$ 是A的一個(gè)劃分， $A`$ 中元素稱為劃分塊。

【定理】設(shè) $<A , \preceq? >$ 為一個(gè)偏序集，若A的最長(zhǎng)鏈的長(zhǎng)度為n，則A存在n個(gè)劃分塊的劃分，每個(gè)塊都是反鏈。

關(guān)于對(duì)稱差特性：A⊕A=?，?⊕A=A⊕?=A

群的定義：一個(gè)非空集合G中如果定義了一個(gè)“乘法”運(yùn)算，滿足：

（1）封閉性： $\forall a,b \in? G, a \times? b = c \in G;$

（2）結(jié)合律： $\forall a,b,c \in G, a \times (b \times c) = (a \times b) \times c;$

（3）有單位元： $\exists e \in G, \exists a \in G, e \times? a = a \times e = a ;$

（4）每個(gè)元 $a$ 有逆元 $a^{-1}$ ： $a \times a ^{-1} = a ^ {-1} \times a = e$ ，則稱 $G$ 為一個(gè)群。

函數(shù)部分：

設(shè) |A| =n，|B|=m, 一般說來A到B共有 $2^{mn}$ 個(gè)二元關(guān)系，A上共有 $2^{m^2}$ 個(gè)二元關(guān)系，該知識(shí)點(diǎn)可以用0，1矩陣來理解在，m*n的矩陣中有m*n個(gè)0和1不同的組合，其總數(shù)為 $2^{mn}$ 種。

【定義】設(shè)F為二元關(guān)系，若對(duì)任意的 $x \in dom F$ 都存在唯一的 $y \in ran F$ 使得 $x F y$ 成立，則稱 $F$ 為函數(shù)。

【定義】設(shè)是 $A,B$ 集合，如果函數(shù) $f$ 滿足以下條件：

? ? ? ? ? ? （1） $dom f = A$

? ? ? ? ? ? （2） $ran f \subseteq? B$

? ? ? ? ? ? 則稱 $f$ 是從 $A$ 到 $B$ 的函數(shù)，記作 $f : A \rightarrow? B$

【定義】設(shè)函數(shù) $f : A \rightarrow B.$

? ? ? ? （1）若 $ran f = B$ (值域=B)，則稱 $f$ 是滿射的。

? ? ? ? （2）若對(duì)于任何的 $x_1,x_2 \in A ,x_1 \neq? x_2 ,都有 f(x_1)? \neq? f(x_2)$ ,則稱 $f$ 是單射的。

? ? ? ? （3）若 $f$ 既是滿射的，又是單射的，則稱 $f$ 是雙射的。

舉例說明： $f:\{ 1,2 \} \rightarrow? \{0\}, f(1) = f(2) = 0$ , $f$ 是滿射的，但不是單射的。

? ? ? ? ? ? ? ? ? $f: N \rightarrow? N,f(x) = 2x$ 是單射的，但不是滿射， $ran f$ 不包含奇數(shù)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $f: Z \rightarrow? Z, f(x) = x+1$ 是雙射的。

1.當(dāng) $n < m$ 時(shí)， $A \rightarrow? B$ 中不含滿射，從而不含雙射函數(shù)；當(dāng) $n \leq m$ 時(shí)， $A \rightarrow? B$ 中共含 $m(m-1)...(m-n+1)$ 個(gè)不同的單射函數(shù)；