我們知道，關(guān)于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的最普遍的證明方法是歐幾里得的反證法：

假設(shè)存在最大的素?cái)?shù) P，那么我們可以基于所有的素?cái)?shù)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù) Q = 2 x 3 x 5 x 7 x … x P + 1。顯然這個(gè)數(shù)不能被任一素?cái)?shù)整除（所有素?cái)?shù)除它都余1），這說(shuō)明我們找到了一個(gè)更大的素?cái)?shù)。

我發(fā)現(xiàn)很多人誤認(rèn)為我們構(gòu)造的這個(gè)新數(shù) Q 是一個(gè)素?cái)?shù)（甚至有些數(shù)學(xué)教材上也這么寫(xiě)），這其實(shí)是不對(duì)的?；?Q 不能被任意素?cái)?shù)整除這一事實(shí)，我們能夠得到的結(jié)論是：Q 或者是一個(gè)素?cái)?shù)，或者包含一個(gè)比最大的素?cái)?shù) P 更大的素?cái)?shù)因子。

通過(guò)簡(jiǎn)單的幾行程序就能找到"存在 Q 為合數(shù)“的證據(jù)。這個(gè)數(shù)并不大。當(dāng) P 為 13 時(shí)，Q = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 +1 = 30031 = 59 x 509。