作者：阮一峰

日期：2013年1月 8日

去年12月，美國康涅狄格州發生校園槍擊案，造成28人死亡。

資料顯示，1982年至2012年，美國共發生62起（大規模）槍擊案。其中，2012年發生了7起，是次數最多的一年。

去年有這么多槍擊案，這是巧合，還是表明美國治安惡化了？

前幾天，我看到一篇很有趣的文章，使用"泊松分布"（Poisson distribution），判斷同一年發生7起槍擊案是否巧合。

讓我們先通過一個例子，了解什么是"泊松分布"。

已知某家小雜貨店，平均每周售出2個水果罐頭。請問該店水果罐頭的最佳庫存量是多少？

假定不存在季節因素，可以近似認為，這個問題滿足以下三個條件：

（1）顧客購買水果罐頭是小概率事件。

（2）購買水果罐頭的顧客是獨立的，不會互相影響。

（3）顧客購買水果罐頭的概率是穩定的。

在統計學上，只要某類事件滿足上面三個條件，它就服從"泊松分布"。

泊松分布的公式如下：

各個參數的含義：

P：每周銷售k個罐頭的概率。

X：水果罐頭的銷售變量。

k：X的取值（0，1，2，3...）。

λ：每周水果罐頭的平均銷售量，是一個常數，本題為2。

根據公式，計算得到每周銷量的分布：

從上表可見，如果存貨4個罐頭，95%的概率不會缺貨（平均每19周發生一次）；如果存貨5個罐頭，98%的概率不會缺貨（平均59周發生一次）。

現在，我們再回過頭，來看美國槍擊案。

假定它們滿足"泊松分布"的三個條件：

（1）槍擊案是小概率事件。

（2）槍擊案是獨立的，不會互相影響。

（3）槍擊案的發生概率是穩定的。

顯然，第三個條件是關鍵。如果成立，就說明美國的治安沒有惡化；如果不成立，就說明槍擊案的發生概率不穩定，正在提高，美國治安惡化。

根據資料，1982--2012年槍擊案的分布情況如下：

計算得到，平均每年發生2起槍擊案，所以 λ = 2 。

上圖中，藍色的條形柱是實際的觀察值，紅色的虛線是理論的預期值。可以看到，觀察值與期望值還是相當接近的。

我們用"卡方檢驗"（chi-square test），檢驗觀察值與期望值之間是否存在顯著差異。

卡方統計量 = Σ [ ( 觀察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期望值 ]

計算得到，卡方統計量等于9.82。查表后得到，置信水平0.90、自由度7的卡方分布臨界值為12.017。因此，卡方統計量小于臨界值，這表明槍擊案的觀察值與期望值之間沒有顯著差異。所以，可以接受"發生槍擊案的概率是穩定的"假設，也就是說，從統計學上無法得到美國治安正在惡化的結論。

但是，也必須看到，卡方統計量9.82離臨界值很接近，p-value只有0.18。也就是說，對于"美國治安沒有惡化"的結論，我們只有82%的把握，還有18%的可能是我們錯了，美國治安實際上正在惡化。因此，這就需要看今后兩年中，是否還有大量槍擊案發生。如果確實發生了，泊松分布就不成立了。