一、二叉樹的相關概念

概念：二叉樹是n個結點的有限集合，該集合或者為空集（空二叉樹），或者由一個根結點和兩顆互不相交的，分別稱為根結點的的左子樹和右子樹的二叉樹組成。
理解：二叉樹是一個包含遞歸概念的樹，每個結點下面的左子樹和右子樹依舊包含二叉樹。

二叉樹的特點：

• 每個結點最多有兩顆子樹。
• 左子樹和右子樹順序不能顛倒。

二叉樹的形態：

• n=0，空樹。
• n=1，只有一個根結點。
• 根節點只有左子樹。
• 根結點只有右子樹。
• 左子樹和右子樹都有。

特殊二叉樹：

• 滿二叉樹：所有分支節點都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層上。
• 完全二叉樹： 給一個具有n個結點的二叉樹編號（從左到右），如果這n個結點是滿二叉樹的前n個結點（中間無空隙），則可以稱之為完全二叉樹。

完全二叉樹的特點：

• 葉子節點只能出現在在最下兩層。
• 最下層的葉子一定集中在左部連續位置。
• 倒數二層，若有葉子節點，一定都在右部連續位置。
• 如果結點度為1，則一定為左孩子。
• 同樣結點的二叉樹，完全二叉樹的深度最小。

二叉樹的性質：

1）在二叉樹的第i層上至多有2^i-1個結點。
2）深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點。
3）對任何一顆二叉樹T，如果其終端結點數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀=n₂+1。
4）具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1（方括號為向下取整函數）。
5）如果對一顆有n個結點的完全二叉樹（其深度為[log2n]+1）的結點按層序編號（從第1層到第[log2n]+1層，每層從左到右），對任一結點i（1<=i<=n）有：

• 如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是結點[i/2]。（括號含義同上）
• 如果2i>n，則結點i無左孩子（結點i為葉子結點）；否則其左孩子是結點2i。
• 如果2i+1>n，則結點i無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1。

二、二叉樹遍歷代碼實現

//Binarytree.h

#ifndef BINARYTREE_H_
#define BINARYTREE_H_
struct BtreeNode
{
    char alpha;
    BtreeNode * lchild;
    BtreeNode * rchild;
};
class BinaryTree
{
private:
    BtreeNode * root;//樹的根或子樹的根
public:
    BinaryTree();
    ~BinaryTree();
    BtreeNode * Create();
    BtreeNode * Getroot();
    void Release(BtreeNode * root);
    void PreOrder(BtreeNode * root);//前序遍歷
    void InOrder(BtreeNode * root);//中序遍歷
    void PostOrder(BtreeNode * root);//后序遍歷
    void LayerOrder(BtreeNode * root);//層序遍歷
    int BinaryTreeNodeNum();//返回二叉樹的結點數
    int BinaryTreeLeaves();//返回二叉樹的葉子結點數
    int Depth();
};
#endif

//Binarytree.cpp

#include<iostream>
#include"BinaryTree.h"
using std::cout;
using std::endl;
using std::cin;
BinaryTree::BinaryTree()
{
    this->root = Create();
}
BinaryTree::~BinaryTree()
{
    this->Release(root);
}
BtreeNode * BinaryTree::Create()//創建過程為順序遍歷。
{
    BtreeNode * root;
    char ch;
    cout << "輸入一個字符：";
    cin >> ch;
    if (ch == '#')
        root = NULL;//空指針并沒有內存,加一個#是為了在電腦上讓二叉樹返回。畢竟有的二叉樹會缺少lchild或rchild。
    else
    {
        root = new BtreeNode;
        root->alpha = ch;
        root->lchild = Create();
        root->rchild = Create();
    }
    return root;
}
BtreeNode * BinaryTree::Getroot()
{
    return this->root;
}
void BinaryTree::Release(BtreeNode * root)//后序遍歷
{
    if(root!=NULL)
    {
        Release(root->lchild);
        Release(root->rchild);
        delete root;
    }
}
void BinaryTree::PreOrder(BtreeNode * root)
{
    if (root == NULL)
        return;
    cout << root->alpha << " ";
    PreOrder(root->lchild);
    PreOrder(root->rchild);
}
void BinaryTree::InOrder(BtreeNode * root)
{
    if (root == NULL)
        return;
    InOrder(root->lchild);
    cout << root->alpha << " ";
    InOrder(root->rchild);
}
void BinaryTree::PostOrder(BtreeNode * root)
{
    if (root == NULL)
        return;
    PostOrder(root->lchild);
    PostOrder(root->rchild);
    cout << root->alpha << " ";;
}
void BinaryTree::LayerOrder(BtreeNode * root)
{
    const int Maxsize = 100;
    int front = 0;
    int rear = 0;
    BtreeNode * Q[Maxsize];
    BtreeNode * q;
    if (root == NULL)
        return;
    else
    {
        Q[rear++] = root;
        while (front!=rear)
        {
            q = Q[front++];
            cout << q->alpha << " ";
            if(q->lchild!=NULL)
                Q[rear++] = q->lchild;
            if(q->rchild!=NULL)
                Q[rear++] = q->rchild;
        }
    }
}
//設計一個結點數組Q，用來分層保存二叉樹中的結點；再設計一個臨時結點q，用來打印當前結點。
//Q[front]賦值給q，表示當前要打印的結點數據；Q[rear]表示目前層序遍歷的最后一個結點數據。
//當front==rear時，表示已經打印到了最后一個。、
//相當于把根結點的子樹從左到右遍歷，再把左子樹從左到右遍歷，再把右子樹從左到右遍歷，從而達到層序遍歷。

//main.cpp

#include<iostream>
#include"BinaryTree.h"
using namespace std;
int main()
{
    BinaryTree Btree;
    BtreeNode * root = Btree.Getroot();
    cout << "前序遍歷： " << endl;
    Btree.PreOrder(root);
    cout << endl;
    cout << "中序遍歷： " << endl;
    Btree.InOrder(root);
    cout << endl;
    cout << "后序遍歷： " << endl;
    Btree.PostOrder(root);
    cout << endl;
    cout << "層序遍歷： " << endl;
    Btree.LayerOrder(root);
    cout << endl;
    return 0;
}