我們先來觀察一組勾股數(shù)：
a、b、c
3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
11、60、61
13、84、85
15、110、111
可以找到什么樣的規(guī)律呢？
先看第一列數(shù)a，我們會發(fā)現(xiàn)，全部都是奇數(shù)（3、5、7、9、11、13、15），而且還全是連續(xù)的奇數(shù)，全是以+2、+2、+2的方式往下推進(jìn)，那么我們假設(shè)n為自然數(shù)（n≠0），那么第一列數(shù)a就可以表示為2n+1（任意偶數(shù)+1都為奇數(shù)）。再來看第二列數(shù)b和第三列數(shù)c，發(fā)現(xiàn)b全為偶數(shù)，c全為奇數(shù)，并且c=b+1。之后我們再一組一組地觀察，勾股定理就不用再次重申了，但是我們會發(fā)現(xiàn)a2=b+c。依靠以上我們整理出的幾點，我們可以推算出一個公式，利用這個公式我們可以快速找出與a相匹配的勾股數(shù)。
∵a2=b+c，c=b+1
∴a2=b+b+1，即a2=2b+1
那我們?nèi)绾斡眠@個公式快速找到與之匹配的勾股數(shù)呢？
我們以17為例，當(dāng)a=17時，等式加載為172=2b+1
172=2b+1
289=2b+1
288=2b
b =144
∴c=144+1=145
最后驗證一下
172=289
1442=20736
1452=21025
21025-20736=289
∴驗證成功！
于是這個公式似乎成為了一個尋找勾股數(shù)組的快捷方式，可以說是一個勾股數(shù)軟件中的快捷鍵。
可是，為什么會有這樣的規(guī)律呢？這個規(guī)律可靠嗎？我們還要繼續(xù)探索。再觀察這些勾股數(shù)，我又發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：
勾股數(shù)3、4、5有32=9=4+5，而4=2*1*（1+1）
勾股數(shù)5、12、13有52=25=12+13，而12=2*2*（2+1）
勾股數(shù)7、24、25有72=49=24+25，而24=2*3*（3+1）
勾股數(shù)9、40、41有92=81=40+41，而40=2*4*（4+1）
……
接下來我們再觀察一組勾股數(shù)：
6、8、10
8、15、17
10、24、26
12、35、37
14、48、50
16、63、65
18、80、82
第一列數(shù)a全是偶數(shù)，且還全是連續(xù)的偶數(shù)，全是以+2、+2、+2的方式往下推進(jìn)，用n來表示，即為2n（n≥3）。再看后面兩列，發(fā)現(xiàn)相同一行后兩數(shù)都只相差2，所以可以推導(dǎo)出c=b+2，并且通過一組一組地觀察，我們發(fā)現(xiàn)a2=2(b+c)，那么接下來我們開始去往結(jié)果星球的航道上：
∵a2=2（b+c），c=b+2
∴a2=2（b+b+2），即a2=2（2b+2）
再∴a2=4b+4
那么我們再次來驗證一下推導(dǎo)出的快捷公式：
∵a2=4b+4
∴當(dāng)a=32時，等式為322=4b+4
322=4b+4
1024=4b+4
1020=4b
b=255
∴c=255+2=257
驗證一下：
322=1024
2552=65025
2572=66049
66049-65025=1024
我們似乎又找到了一個a為大于等于6的偶數(shù)時，找到其匹配勾股數(shù)的快捷方式：當(dāng)a=2n（n≥3），a2=4b+4，c=b+2時，a、b、c是一組一組勾股數(shù)。可是，為什么會有這樣的規(guī)律呢？
讓我們繼續(xù)觀察數(shù)字：
勾股數(shù)6、8、10有62=36=2*（8+10），而8=32-1，10=32+1
勾股數(shù)8、15、17有82=64=2*（15+17），而15=42-1，17=42+1
勾股數(shù)10、24、26有102=100=2*（24+26），而24=52-1，26=52+1
……
當(dāng)然，也并不是所有的勾股數(shù)都包含其中，也有一些特例，如下：
12、16、20
15、20、25
18、24、30
21、28、35
……
這一些的規(guī)律和之前的不同，這一些的規(guī)律是a=3n、b=4n、c=5n為一組勾股數(shù)（n≥1）。
還有一些，如下：
20、21、29
20、99、101
48、55、73
60、91、109
雖然大部分勾股數(shù)我們都可以用以上的3種規(guī)律尋找到，但有一些特例我們依然只能用a2+b2=c2來驗證是不是勾股數(shù)組。
