4.t檢驗分析兩樣本均值

除了按照上面的方法，根據兩樣本的方差求出兩樣本的期望之差外，我們還可以引入假設檢驗對它們的差進行檢驗。先前在假設性檢驗的時候就已經講了H0原假設和H1備擇假設，也求出了一個假設的拒絕域。同樣的，我們也可以根據假設性檢驗的相關檢驗來檢驗兩樣本期望，而這里，我們假設H0為E(Xa)=E(Xb)，H1取H0反面，而標準則是以p為0.05為準，如果p小于0.05，我們接受原假設，大于則拒絕。在先前的章節中，我們又介紹了t的相關公式，比如H0為E(X)=0,那么，我們T的計算公式則為：

在R語言里，我們常用qt()函數計算t分布的分位數，比如，qt(0.975,n-1)計算的就是t分布當中自由度為n，分位為97.5%的分位數，也可表示成事件{|T|>qt(0.975,n-1)}，而P({|T|>t})就是表示R里通常看到的p值。同樣的，假設H0：E(Xa)-E(Xb)=0，那么，根據上面T值公式可得：

又回到剛剛的耗油量之差的例子，先前我們已經把里面的樣本均值和方差算出來了，因此，我們得到它們的t值是：

因此，我們算出來的p值為P(|T|>2.425531)=2×[1-P(|T|<=2.425531)]，根據這個結果，我們在R模擬一下：

2*(1-pt(2.4255,191.561))

兩樣本方差比較

之前，我們已經介紹了如何用期望、置信區間和t檢驗進行兩樣本的比較；接下來，我們還要介紹一種方法來比較兩個樣本，它就是方差比較。

首先，我們在講第11章就講了講卡方分布。卡方分布就是假設一個標準正態分布有X1，X2……Xn這n個隨機變量，而它們的隨機平方和由組成一個新的分布的就稱之為卡方分布；而卡方檢驗就是在假設性統計里，統計推斷值和實際值的偏差，以卡方值表示。卡方值越大，即它們的偏差就越大，反之亦然，如果為0，即它們沒有任何偏差。

而這里，我們要介紹的是F檢驗法。我們還是假設兩個樣本的方差分別為Sa和Sb。構造F分布的時候，我們可以根據它們兩個樣本的方差構造得：

其中，左邊就是分別構造兩樣本的方差估計值和實際值的比率，之所以要構造這個比例，就是因為F分布的計算標準就是根據比率進行的，因此我們也就得到了上面的那個公司。

在R里面，qf()函數計算F分布的分位數，一般形式為qf(σ,dfa,dfb)，其中，σ表示求哪個分位的分位數，dfa和dfb分布代表樣本a和樣本b的自由度。

現在，根據F分布的公式，再結合qf()函數來構造它的95%置信區間，得：

根據這個公式，我們可以得到：

現在，我們假設H0:Var(Xa)/Var(Xb)=1，而原假設的拒絕域為Fqf(0.975,qfa,qfb)，而p則為2P(F>f)=2[1-P(F<=f)]，它在f<1條件下成立。衡量的標準還是p值是否達到0.05。現在，再次回到之前的耗油量之差的例子，用R模擬過程和結構如下：

var.test(dif.mpg~heavy)

我們看到p值僅為0.16663，小于0.05，這時，我們要拒絕原假設，即，Var(Xa)和Var(Xb)不相同。同時，從這份報告中，我們還看到比率的95%置信區間為[0.4189200,0.9162126]，而樣本的比率方差，在最后一行可以看到，是0.6196502；而這一個值，就是由先前我們在求耗油量之差時求出來的，Sa2/Sb2得來的，具體Sa和Sb可以根據先前的結果查看。這里，再說一下p，根據耗油量之差，我們可以用相關函數pf()模擬計算，過程如下：

2*pf(0.6196502,102,101)

最后，我們算一算兩樣本方差比率的95%置信區間，過程結果如下：

qf(0.025,102,101)

qf(0.975,102,101)

得到95%置信區間為[0.676317,1.479161]。

總結

這一部分的內容把樣本的比較方法單獨拿出來講，說明比較兩個樣本的內容還是相當重要的，而且有很多的方法和相關理論需要掌握。

這部分內容，我們分別從均值、置信區間和方差這3個角度來比較這兩個樣本的大致情況。比較這兩個樣本的重要指標就是引入了t檢驗和F檢驗，也就是說，我們分別從t分布和F分布來間接比較這兩個樣本。

用均值進行兩樣本的比較，我們列舉了汽車耗油量之差這個例子，把里面的數據分成2組，然后用t分布計算出相關的p值，并與p值的極值0.05進行比較，如果大于0.05，我們接受原假設，反之亦然。另外，我們在介紹比較兩樣本的方差之前，我們還通過構造t分布來比較兩樣本的均值，計算相關的t值和p值，并對比我們所求出的拒絕域；如果落入拒絕域，則原假設不成立，反之亦然。

用置信區間比較兩樣本，我們引入了兩個樣本的期望，同時也引入這兩個樣本的標準差，通過置信區間的計算公式，利用兩樣本的均值之差構造出95%置信區間，然后根據這個置信區間進行分析。

最后，我們還引入了F分布，通過構造兩樣本的方差之比進行F檢驗分析，同樣比較它的p值是否達到0.05；如果達到，我們接受原假設，反之亦然。

從上面的文章，我們可以看到假設性檢驗的其中一種應用，它通過計算相關的值和我們原來的假設進行比較，作為我們的假設是否合理的一個重要指標。由于受限于水平以及課本所提到的內容，可能很多地方會有一些錯誤，也歡迎大家留言指出。當然，如果大家有什么疑問也可以到留言板上留言，我會盡自己的能力幫你解答。最后，由于文章講的比較少，而且可能比較難以理解，同時也是讀書筆記的形式來寫的，所以我打算在后面一段時間，會從概率論與數理統計的角度，把這個系列的讀書筆記里所提到的知識進行一個擴充，這樣能更有助于你們理解統計學的相關內容。后面的章節，我們就要開始簡單的講述相關的統計模型；不過，由于已經快到本書的結尾，而本系列的比較也很快就寫完了，所以如果大家還想看更多的統計模型，我后續也會以各種方式進行補充。

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