LeetCode 96 Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

再次感覺智商被碾壓。。。第一感覺就是需要找規律，往dp的方向靠。。。然而并沒有看出什么規律。。。

一定要牢記BST的一個重要特性！！！

中序遍歷BST，實際得到的是一個sorted array！！！

OK，那如何利用這個特性得到解呢？

對于包含1,2,...,n這n個數的所有BST而言，都可以分成root為1或root為2或...root為n，這n種情況。

可以表示為：

• G(n): the number of unique BST for a sequence of length n.
• F(i, n), 1 <= i <= n: the number of unique BST, where the number i is the root of BST, and the sequence ranges from 1 to n.
• G(n) = F(1, n) + F(2, n) + ... + F(n, n).

我們最后需要求的是G(n)，但為了求G(n)，我們需要求解當root為i時，可能有多少unique BST，也就是需要先求F(i, n)。

下面進入關鍵的一步，讓我們來分析一下F(i, n)的求解：
假設n=7,i=3，所有unique BST中序遍歷后都會得到[1,2,3,4,5,6,7]。
考慮以3為root的所有BST，一共有多少種可能呢？
我們先看左子樹，此時對應[1,2]，有G(2)種樹的形式。
再看右子樹，此時對應[4,5,6,7]，由于同樣是一個遞增數列，樹的不同形式與[1,2,3,4]實際上是相同的，所以總共有G(4)種形式。

已知左右各有G(2)與G(4)種可能，那簡單的乘法原理就可以知道，對應root=3的BST一共有G(2)*G(4)種可能！！！

也就是：

• F(i, n) = G(i-1) * G(n-i) 1 <= i <= n

進一步，可以求得G(n)：

• G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)

代碼：

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if (n <= 0) return 1;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

參考：

https://discuss.leetcode.com/topic/8398/dp-solution-in-6-lines-with-explanation-f-i-n-g-i-1-g-n-i/2