? ? ? ? 平面幾何中著名的蝴蝶命題，最早出現在1815年英國的一本雜志《男士日記》上，是作為一個征解的問題。文章登出的當年，英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納給出了第一個證明，而且完全是初等的，十分簡潔明了。

? ? ? ? “蝴蝶定理”這個名稱最早出現于《美國數學月刊》1944年2月號，因為題目的圖形像一只蝴蝶。這個名稱不僅形似，而且神似。自誕生以來，該問題的證明方法至少已有數十上百種，對該問題的探討也一直沒有停止過，得出了不少漂亮而有啟發性的副產品。這只翩翩起舞的蝴蝶飛過了從初等到高等的許多數學領域，翅膀上沾滿了多彩而馥郁的花朵的香氣。

? ? ? ? 蝴蝶定理表述如下：如下圖所示，M是圓O上的弦AB的中點，連結DE、CF分別交AB于P、Q。求證PM=QM。

?

? ?

? ? ? ? 在此討論一下單墫先生的一個證明。該證明自誕生以來一直被視為平面幾何包括解析幾何中的一個經典證明。僅有幾行的證明言簡意賅，信息量卻很大，乍一拿到手仍覺得有些抽象，有必要對其思路梳理一下，也算加上注疏。中國古代的經史之學自初創起幾乎就是一門注疏之學，后來隨著世俗化的逐漸加深，文翰辭章等也出現了越來越多的賞析之作，以作為創作者和受眾之間的媒介。這樣一個經典證明是值得賞析回味的。

? ? ? ? 首先以AB所在的直線為x軸，OM所在的直線為y軸建立直角坐標系，M為原點。為方便起見，不妨設該圓為單位圓。圓心O的坐標（0，—a）。

? ? ? ? 試想如果能知道ED、CF所在直線的方程，求得P、Q的橫坐標，問題就迎刃而解。E、D，C、F是相交于M的兩條直線EF、CD所組成的圖形——不妨記作（EF*CD）——和圓O的交點。我們就首先來寫出（EF*CD）的方程。

? ? ? ? 設EF所在直線的方程為y=k1x，CD所在直線的方程是y=k2x。如果對布爾代數——一個具體的例子就是邏輯電路——中的加法比較敏感的話，很快可以得到圖形（EF*CD）對應的方程是（y—k1x）*（y—k2x）=0。因為對于該圖形上的任一個點，代入這個表達式都能成立。

? ? ? ? 下面考慮圖形（EF*CD）和圓的交點。如果我們回顧通過交點的二次曲線系方程，不難得出通過（EF*CD ）和圓的交點的二次曲線系方程為[x^2+（y+a）^2—1] +? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0。直觀來看，該圖形上必然存在點能讓兩部分同時為0，于是讓整體也為0，即該圖形通過（EF*CD）和圓的交點。可類比布爾代數——邏輯電路中的乘法。

? ? ? ? 以上是一些必要的注解，明白了這些，證明過程就十分簡潔漂亮了：

? ? ? ? 由 [x^2+（y+a）^2—1] +? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0，

? ? ? 令y=0，得（1+ λk1k2）x^2+a^2—1=0。

可見x的一次項系數為0。由韋達定理xP+xQ=0，即PM=QM，得證。

? ? ? ? 需要說明的是，過E、D、C、F共6條3組直線，要證明的結論是其中的一組。CD與EF交于原點，自然符合相等。如該圖所示CE的延長線與DF的延長線與AB交點截成的線段也是相等的。

? ? ? ? 單墫先生的經典證明簡潔優美而意蘊豐厚，充滿了一種高屋建瓴的整體眼光。技巧的使用上堪稱四兩撥千斤，數學思想與之水乳交融，如羚羊掛角，無跡可尋。反復玩味，似一首短短數行卻讓人品之不盡的小詩，如歌德《浪游者的夜歌》。

? ? ? ? 下面再作一些引申。蝴蝶定理不僅適用于圓，對于其他二次曲線如橢圓、雙曲線、拋物線甚至退化的兩相交直線同樣成立。用上述證明方法推廣起來也很方便。

? ? ? ? 只需要設二次曲線的一般式x^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0。建立如上坐標系，把A(—m，0)、B(m，0)代入，得到f=—m^2，d=0。即x^2+bxy+cy^2+ey—m^2=0。構造x^2+bxy+cy^2+ey—m^2+? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0，證法完全相同。

? ? ? ? 我們是否能用一種更高的數學眼光看待以上的推廣呢？這就需要進入射影幾何的領域。讓我們先用射影幾何的方法證明一下圓中的蝴蝶定理。

? ? ? ?

? ? ? ? 如上圖所示，由四條共點直線的交比和共線的四個有序點的交比之間的關系有：（abcd）=（APMB），（a'b'c'd'）=(AMQB)。由于在圓中一圓弧所對的每個圓周角相等，兩組四條直線是“相合的”，顯然具有相同的交比。于是（APMB）=(AMQB)。

? ? ? ? 由交比的定義，（MA/MP）?(BP/BA)=（QA/QM）?(BM/BA)。由MA=MB，約分后得到BP/MP=QA/QM。兩邊同時減去1，BM/MP=MA/QM。再由MA=MB，可證得PM=QM。

? ? ? ? 重點不在這個證明過程本身。本文想要強調的是，由于一個圓錐曲線只是一個圓的射影，因此，圓在射影下不變的任何性質，也將為任意二次曲線所具備。在此例中，交比在射影變換下是不變的，所以若把圓射影成任意二次曲線，等式（abcd）=（a'b'c'd'）仍然成立。以下的證明過程當然完全相同。對于任意二次曲線，這看起來是個令人驚奇的結論，得到它卻又是如此容易。

? ? ? ? 數學愛好者都熟知的艾爾蘭根綱領告訴我們，一種幾何研究的無非是在一類特定變換下的不變性，拓撲學的重要性就在于其研究的是在最劇烈變換下的不變性。蝴蝶定理的例子中，我們就通過交比在射影變換下的不變性這個具體的例子加深了對這一重要數學思想的理解，反之，有了這樣宏觀的視角，蝴蝶定理向普通二次曲線推廣的問題也會如此輕松得到解決。

? ? ? ? 八月蝴蝶黃，雙飛西園草。特別喜歡李白《長干行》里的這兩句詩。倒春寒陰云密布的下午，對著名的蝴蝶定理來次舊事重提，用一個漂亮的二次曲線系證法和射影幾何證法來雙飛，飛過許多美麗的景觀。