1線段與直線
我們先來看一個簡單的問題,設,我們用什么方法來表示過
直線呢?或者說表示過
的直線上的任意點呢?公式如下:
如何表示兩點之間的線段呢?公式如下:
2仿射集
仿射集定義:
如果一個集合是仿射集,那么
這個點(過
的直線上的點)也在集合
內.(一條直線上的點組成的集合是仿射集,一個二維平面上的點組成的集合也是仿射集;但是線段就不是仿射集了)
仿射集定義推廣:
上面通過兩個點來定義仿射集,可不可以通過三個點,或者更多點呢?
有仿射集,
我們稱 為仿射組合。若我們證明了仿射組合
這個點也在集合
內,進而推廣到n個點,那么我們就將仿射集的定義推廣了。我們來證明3個點的情況:
點 這個點根據定義肯定在仿射集內。
對于+
根據定義也在仿射集
內。將該式展開得
。對與4個點、5個點....n個點就不再證明了。
仿射集的性質:
有了上面的推廣我們來思考一下:有仿射集,
,那么
?
顯然不一定成立。那么我們來看一下這樣一個仿射集
,仿射集
是由仿射集
平移得到的。那么對于仿射集
,
成立嗎?證明
等價于證明
證明如下:
根據仿射集定義上式一定成立
展開:
我們稱仿射集是仿射集
對應的一個子空間(注意空間必須存在原點,
一定存在一個原點)。
為什么空間一定要存在原點呢?這個數學問題等我弄明白再寫,數學功底太弱。
3重要例子:線性方程組的解集是一個仿射集
證明:
設
則
得:
所以線性方程組的解集是一個仿射集,其實任意一個仿射集也是線性方程組的解集可以試著根據定義證明一下。
我們來研究一下方程組解集的子空間:
令
這樣我們就得到了一個化零空間,中的任意一個元素右乘A都得零。其實我們直接
就可以得到化零空間了。
4構造仿射集
給定任意集合,構造盡可能小的仿射集,即構造包含該集合的最小的仿射集,該集合被稱為仿射包。(比如在二維平面里的例子,給定集合
只包含
兩個點,用這兩個點來構造最小的仿射集是一條直線)
仿射包(仿射包也是個仿射集合)定義:
下篇:凸集