仿射集

1線段與直線

我們先來看一個簡單的問題，設x_1, x_2\in R^n,我們用什么方法來表示過x_1, x_2直線呢？或者說表示過x_1, x_2的直線上的任意點呢？公式如下：
\theta x_1 +(1-\theta)x_2
如何表示兩點之間的線段呢？公式如下：
\theta x_1 +(1-\theta)x_2，\theta \in [0,1]

2仿射集

仿射集定義：
如果一個集合c是仿射集，那么\forall x_1, x_2 \in c \theta x_1 +(1-\theta)x_2這個點（過x_1, x_2的直線上的點）也在集合c內.(一條直線上的點組成的集合是仿射集，一個二維平面上的點組成的集合也是仿射集；但是線段就不是仿射集了)

仿射集定義推廣：
上面通過兩個點來定義仿射集，可不可以通過三個點，或者更多點呢？
有仿射集c,x_1, x_2,x_3\in c; \theta_1, \theta_2, \theta_3\in R; \theta_1+\theta_2+\theta_3=1
我們稱\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3 為仿射組合。若我們證明了仿射組合\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3 這個點也在集合 c內，進而推廣到n個點，那么我們就將仿射集的定義推廣了。我們來證明3個點的情況：
點\frac {\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac {\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2 這個點根據定義肯定在仿射集內。
對于(\theta_1+\theta_2)(\frac {\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac {\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2)+(1-\theta_1-\theta_2)x_3根據定義也在仿射集c內。將該式展開得\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3 。對與4個點、5個點....n個點就不再證明了。

仿射集的性質：
有了上面的推廣我們來思考一下：有仿射集c,x_1, x_2 \in c,那么\alpha x_1+ \beta x_2 \in c?(\alpha,\beta \in R)顯然不一定成立。那么我們來看一下這樣一個仿射集v = c -x_0,x_0\in c,仿射集v是由仿射集c平移得到的。那么對于仿射集v, \alpha x_1+ \beta x_2 \in v ,(\alpha,\beta \in R)成立嗎？證明\alpha x_1+ \beta x_2 \in v 等價于證明\alpha x_1+ \beta x_2 +x_0\in c證明如下：
\alpha (x_1+x_0)+ \beta (x_2 +x_0) +(1-\alpha - \beta)x_0\in c x_1+x_0 \in c, x_2+x_0 \in c根據仿射集定義上式一定成立
展開：
\alpha x_1+ \beta x_2 +\alpha x_0+\beta x_0+(1-\alpha - \beta)x_0\in c
\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 + x_0 \in c
\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 \in c-x_0
\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 \in v
我們稱仿射集v是仿射集c對應的一個子空間（注意空間必須存在原點， x_0 \in c, c-x_0(v)一定存在一個原點）。
為什么空間一定要存在原點呢？這個數學問題等我弄明白再寫，數學功底太弱。

3重要例子：線性方程組的解集是一個仿射集

證明：
c = \{x|Ax = b\}, A\in R^{m*n};x\in R^n; b\in R^m
設 x_1,x_2 \in c
則A(\theta x_1+(1-\theta)x_2)
=\theta Ax_1 + (1-\theta)Ax_2
= \theta b +(1-\theta)b
= b
得：\theta x_1+(1-\theta)x_2 \in c
所以線性方程組的解集是一個仿射集，其實任意一個仿射集也是線性方程組的解集可以試著根據定義證明一下。
我們來研究一下方程組解集的子空間：
c = \{x|Ax=b \}
\Rightarrow c_1= \{x-x_0|Ax=b\}, Ax_0=b
\Rightarrow c_1= \{x-x_0|A(x-x_0)=0\}
令x-x_0=y
\Rightarrow c_1= \{y|Ay=0\}
這樣我們就得到了一個化零空間，y中的任意一個元素右乘A都得零。其實我們直接c_1=\{x|Ax=0\}就可以得到化零空間了。

4構造仿射集

給定任意集合c,構造盡可能小的仿射集，即構造包含該集合的最小的仿射集,該集合被稱為仿射包。(比如在二維平面里的例子，給定集合c^1只包含x_1, x_2兩個點，用這兩個點來構造最小的仿射集是一條直線)
仿射包（仿射包也是個仿射集合）定義：aff \ \ c = \{\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_ix_i+\theta_kx_k \}, \sum_{i=o}^{k}\theta_i=1,x_{0...k}\in c

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