內容整理于魚c工作室教程

1. 樹的基本概念

1.1 樹的定義

樹(Tree)是n(n>=0)個結點的有限集。

當n=0時成為空樹，在任意一棵非空樹中：有且僅有一個特定的稱為根(Root)的結點；

當n>1時，其余結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹(SubTree)。

雖然從概念上很容易理解樹，但是有兩點還是需要大家注意下：

n>0時，根結點是唯一的，堅決不可能存在多個根結點。

m>0時，子樹的個數是沒有限制的，但它們互相是一定不會相交的。

1.2 樹的基本概念

(1) 結點：如上圖，每一個圈圈我們就稱為樹的一個結點。

(2) 度: 結點擁有的子樹數稱為結點的度-(Degree)，樹的度取樹內各結點的度的最大值。

(3) 葉結點(Leaf)或終端結點: 度為0的結點。

(4) 內部結點: 度不為0的結點稱為分支結點或非終端結點，除根結點外，分支結點也稱為內部結點。

(5) 結點間的關系：結點的子樹的根稱為結點的孩子(Child)，相應的，該結點稱為孩子的雙親(Parent)，同一雙親的孩子之間互稱為兄弟(Sibling)。結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點。

(6) 深度：樹中結點的最大層次稱為樹的深度(Depth)或高度。

(7) 結點的層次(Level): 從根開始定一起，根為第一層，根的孩子為第二層。其雙親在同一層的結點互為堂兄弟。

(8) 有序樹: 如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該樹為有序樹, 否則為無序樹。

(9) 森林(Forest):?是 m(m>=0)棵互不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林。

2. 樹的存儲結構

2.1 雙親表示法

雙親表示法，言外之意就是以雙親作為索引的關鍵詞的一種存儲方式。

我們假設以一組連續空間存儲樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示其雙親結點在數組中位置的元素。

也就是說，每個結點除了知道自己是誰之外，還知道它的粑粑媽媽在哪里。

這樣的存儲結構，我們可以根據某結點的parent指針找到它的雙親結點，所用的時間復雜度是O(1)，索引到parent的值為-1時，表示找到了樹結點的根。

可是，如果我們要知道某結點的孩子是什么？那么不好意思，請遍歷整個樹結構。

當然可以，我們只需要稍微改變一下結構即可：

那現在我們又比較關心它們兄弟之間的關系呢？

2.2 孩子表示法

我們這次換個角度來考慮，由于樹中每個結點可能有多棵子樹，可以考慮用多重鏈表來實現。

就像我們雖然有計劃生育，但我們還是無法確保每個家庭只養育一個孩子的沖動，那么對于子樹的不確定性也是如此。

方法1: 根據樹的度，聲明足夠空間存放子樹指針的結點。

缺點十分明顯，就是造成了浪費！

方法2:

這樣我們就克服了浪費這個概念，我們從此走上了節儉的社會主義道路！但每個結點的度的值不同，初始化和維護起來難度巨大吧？

方法3:最佳解決方案。

那只找到孩子找不到雙親貌似還不夠完善，那么我們合并上一講的雙親孩子表示法：

3. 樹的種類

3.1 二叉樹

二叉樹（Binary Tree）是n（n>=0）個結點的有限集合，該集合或者為空集（空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

3.1.1 二叉樹的特點

(1) 每個結點最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大于2的結點。（注意：不是都需要兩棵子樹，而是最多可以是兩棵，沒有子樹或者有一棵子樹也都是可以的。）

(2) 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒。

(3) 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹，下面是完全不同的二叉樹：

3.1.2 二叉樹的基本形態

從左到右，依次是(1) 空二叉樹, (2)只有一個根結點, (3)根結點只有左子樹, (4)根結點只有右子樹

(5)根結點既有左子樹又有右子樹。

3.1.3 特殊二叉樹

(1) 斜樹

顧名思義，斜樹是一定要斜的，但斜也要斜得有范兒，例如：

(2) 滿二叉樹

坡坡有云：“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此事古難全。但愿人長久，千里共長娟。”意思就是說完美的那是理想，不完美的才是人生。

但是對于二叉樹來說，是否存在完美呢？有滴，那就是滿二叉樹啦。

在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

葉子只能出現在最下一層。

非葉子結點的度一定是2。

在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數一定最多，同時葉子也是最多。

(3) 完全二叉樹

對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

葉子結點只能出現在最下兩層。

最下層的葉子一定集中在左部連續位置。

倒數第二層，若有葉子結點，一定都在右部連續位置。

如果結點度為1，則該結點只有左孩子。

同樣結點樹的二叉樹，完全二叉樹的深度最小。

注意：滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿二叉樹。

3.1.4 二叉樹性質

(1) 在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點(i>=1)。

(2) 深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點(k>=1)。

(3) 對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1。

首先我們再假設度為1的結點數為n1，則二叉樹T的結點總數n=n0+n1+n2

其次我們發現連接數總是等于總結點數n-1，并且等于n1+2*n2

所以n-1=n1+2*n2

所以n0+n1+n2-1=n1+n2+n2

最后n0=n2+1

(4) 具有n個結點的完全二叉樹的深度為?log?n?+1。

由滿二叉樹的定義結合性質二我們知道，深度為k的滿二叉樹的結點樹n一定是2^k-1

那么對于滿二叉樹我們可以通過n=2^k-1倒推得到滿二叉樹的深度為k=log?(n+1)

由于完全二叉樹前邊我們已經提到，它的葉子結點只會出現在最下面的兩層，我們可以同樣如下推導

那么對于倒數第二層的滿二叉樹我們同樣很容易回推出它的結點數為n=2^(k-1)-1

所以完全二叉樹的結點數的取值范圍是：2^(k-1)-1 < n <= 2^k-1

由于n是整數，n <= 2^k-1可以看成n < 2^k

同理2^(k-1)-1 < n可以看成2^(k-1) <= n

所以2^(k-1) <= n < 2^k

不等式兩邊同時取對數，得到k-1<=log?n

由于k是深度，必須取整，所以k=?log?n?+1

(5) 如果對一棵有n個結點的完全二叉樹(其深度為?log?n?+1)的結點按層序編號，對任一結點i(1<=i<=n)有以下性質：

如果i = 1，則結點 i 是二叉樹的根，無雙親；如果i > 1，則其雙親是結點?i/2?

如果2i > n，則結點 i 無做左孩子(結點 i 為葉子結點)；否則其左孩子是結點2i

如果2i+1 > n，則結點 i 無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1

3.1.4 二叉樹的存儲

在前邊的演示中，我們發覺很難單單只用順序存儲結構或者鏈式存儲結構來存放。

但是二叉樹是一種特殊的樹，由于它的特殊性，使得用順序存儲結構或鏈式存儲結構都能夠簡單實現。

(1) 順序存儲結構

二叉樹的順序存儲結構就是用一維數組存儲二叉樹中的各個結點，并且結點的存儲位置能體現結點之間的邏輯關系。

這下看出完全二叉樹的優越性來了吧？由于他的嚴格定義，在數組直接能表現出邏輯結構。

當然對于一般的二叉樹，盡管層序編號不能反映邏輯關系，但是也可以按照完全二叉樹編號方式修改一下，把不存在的結點用“^”代替即可。

但是考慮到一種極端的情況，回顧一下斜樹，如果是一個又斜樹，那么會變成什么樣？

(2) 鏈式存儲結構

既然順序存儲方式的適用性不強，那么我們就要考慮鏈式存儲結構啦。二叉樹的存儲按照國際慣例來說一般也是采用鏈式存儲結構的。

二叉樹每個結點最多有兩個孩子，所以為它設計一個數據域和兩個指針域是比較自然的想法，我們稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。

3.1.5 二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷(traversing binary tree)是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點，使得每個結點被訪問一次且僅被訪問一次。

二叉樹的遍歷方式可以很多，如果我們限制了從左到右的習慣方式，那么主要就分為一下四種：

(1) 前序遍歷

若二叉樹為空，則空操作返回，否則先訪問根結點，然后前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。

遍歷的順序為：ABDHIEJCFKG

(2) 中序遍歷

若樹為空，則空操作返回，否則從根結點開始（注意并不是先訪問根結點），中序遍歷根結點的左子樹，然后是訪問根結點，最后中序遍歷右子樹。

遍歷的順序為：HDIBEJAFKCG

注意！是先F再K,因為是先遍歷結點的左子樹然后結點然后右子樹。因為沒有左子樹，所以直接結點再右子樹。

(3) 后序遍歷

若樹為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子后結點的方式遍歷訪問左右子樹，最后訪問根結點。

遍歷的順序為：HIDJEBKFGCA

(4) 層序遍歷

若樹為空，則空操作返回，否則從樹的第一層，也就是根結點開始訪問，從上而下逐層遍歷，在同一層中，按從左到右的順序對結點逐個訪問。

遍歷的順序為：ABCDEFGHIJK

3.2 線索二叉樹

我想正如程序猿發覺單鏈表并不總能滿足他們設計的程序某些要求的時候，發明了雙向鏈表來彌補一樣，線索二叉樹也是在需求中被創造的！那普通的二叉樹到底有什么缺陷讓我們發指呢？

10個！

沒錯，中序遍歷可以拯救地球！

上圖經過中序遍歷后結果是：HDIBEAFCG

我們發現紅色的結點都是剛才“^”造成浪費的結點，利用中序遍歷剛好它們均處于字符中間，可以很好地利用“^”來存放前驅和后繼的指針。不過好事總是多磨的，我們是有主觀意識所以可以很容易出來哪些結點可以利用存放前驅后繼。這所謂的主觀意識還不簡單，不就是從第一個開始每隔一個結點都可以？

上圖經過中序遍歷后結果是：FDGBACE

黃色說明只有一個空閑的指針位置，如果是這樣的話我們就面臨一個問題：機器怎么識別到底是存放指針還是線索？

沒錯，她需要一丁點兒提示，為此我們將已經定義好的結構進行“擴容”：

3.3 查找二叉樹

二叉查找樹就是二叉排序樹，也叫二叉搜索樹。二叉查找樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹： (1) 若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于它的根結點的值；(2) 若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于它的根結點的值；(3) 左、右子樹也分別為二叉排序樹；(4) 沒有鍵值相等的結點。

對于二叉查找樹來說，當給定值相同但順序不同時，所構建的二叉查找樹形態是不同的，下面看一個例子。

可以看到，含有n個節點的二叉查找樹的平均查找長度和樹的形態有關。最壞情況下，當先后插入的關鍵字有序時，構成的二叉查找樹蛻變為單支樹，樹的深度為n，其平均查找長度(n+1)/2(和順序查找相同），最好的情況是二叉查找樹的形態和折半查找的判定樹相同，其平均查找長度和log2(n)成正比。平均情況下，二叉查找樹的平均查找長度和logn是等數量級的，所以為了獲得更好的性能，通常在二叉查找樹的構建過程需要進行“平衡化處理”，之后我們將介紹平衡二叉樹和紅黑樹，這些均可以使查找樹的高度為O(log(n))。

3.4 平衡二叉樹

平衡二叉樹又稱AVL樹，它或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1。

AVL樹是最先發明的自平衡二叉查找樹算法。在AVL中任何節點的兩個兒子子樹的高度最大差別為1，所以它也被稱為高度平衡樹，n個結點的AVL樹最大深度約1.44log2n。查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n）。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。

3.5 紅黑樹

R-B Tree，全稱是Red-Black Tree，又稱為“紅黑樹”，它一種特殊的二叉查找樹。紅黑樹的每個節點上都有存儲位表示節點的顏色，可以是紅(Red)或黑(Black)。

紅黑樹的特性:

（1）每個節點或者是黑色，或者是紅色。

（2）根節點是黑色。

（3）每個葉子節點（NIL）是黑色。[注意：這里葉子節點，是指為空(NIL或NULL)的葉子節點！]

（4）如果一個節點是紅色的，則它的子節點必須是黑色的。

（5）從一個節點到該節點的子孫節點的所有路徑上包含相同數目的黑節點。

注意：

(01) 特性(3)中的葉子節點，是只為空(NIL或null)的節點。

(02) 特性(5)，確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍。因而，紅黑樹是相對是接近平衡的二叉樹。

3.5.1 左旋與右旋

紅黑樹的基本操作是添加、刪除。在對紅黑樹進行添加或刪除之后，都會用到旋轉方法。為什么呢？道理很簡單，添加或刪除紅黑樹中的節點之后，紅黑樹就發生了變化，可能不滿足紅黑樹的5條性質，也就不再是一顆紅黑樹了，而是一顆普通的樹。而通過旋轉，可以使這顆樹重新成為紅黑樹。簡單點說，旋轉的目的是讓樹保持紅黑樹的特性。

(1) 左旋

更復雜的例子：

(2) 右旋

更復雜的例子：