给我免费观看片在线电影的,国产美女被遭高潮免费露脸,温碧霞灯草和尚的主要内容

對論文Triangulation by Ear Clipping 的理解
不涉及帶孔洞的多邊形及多邊形迭代
問就是功能不需要

聲明：在本學習筆記的寫作過程中，沒有一只貓貓受到實際傷害。
（包括賽博貓貓在內）

引入

計算機圖形學的多邊形分解問題

簡單多邊形定義

定義一個簡單多邊形為由從 $V_0$ 到 $V_{n-1}$ 的 $n$ 個點組成的有序序列。兩相鄰頂點之間以邊 $<V_i,V_{i+1}>,0\leq i\leq n-2$ 相連，且起點和終點之間以邊 $<V_{n-1},V_0>$ 相連。簡單多邊形的每個頂點有且僅有兩條邊，簡單多邊形的任意兩條邊僅在頂點處相交。簡單多邊形和復雜多邊形的對比如圖所示

簡單與復雜多邊形對比

左側多邊形為簡單多邊形。中間的多邊形的頂點1有兩條以上邊，不為簡單多邊形。右側多邊形中連接頂點1和頂點4的邊與其他邊在非頂點處相交，該多邊形不為簡單多邊形。

在一個簡單多邊形中，當遍歷邊緣時，多邊形內部的有限區域總處于遍歷方向同一側。假設以逆時針方向遍歷例圖中的簡單多邊形邊緣，則多邊形內部區域始終處于遍歷方向左側。

多邊形三角化算法

將簡單多邊形分解為多個三角形的過程叫做多邊形三角化。對具有 $n$ 個頂點的任意多邊形進行三角化分解都會得到 $n-2$ 個三角形。在諸多算法中復雜度為 $O(n^2)$ 的ear clipping算法算是最簡單又好用的一個，其他復雜度更低的算法也存在，不過會比ear clipping更難實現。

Ear Clipping算法

下文用貓耳朵指代ear 用咔耳朵算法指代ear clipping）

我覺得論文作者也會贊同的除了貓奴還有誰會看到三角形就想到尖尖耳朵呢）

定義

貓貓耳朵

多邊形的一只貓貓耳朵是由三個相鄰頂點 $V_{i_0},V_{i_1},V_{i_2}$ 構成的三角形，其中 $V_{i_1}$ 是三角形凸出的頂點，在該頂點處三角形的內角角度小于 $\pi$ 。作一條連接點 $V_{i_0},V_{i_2}$ 的輔助線，該線段完全位于多邊形內部。這只貓貓耳朵只含有構成耳朵的三個頂點，不包含多邊形的其他頂點。在計算機幾何學術語里把連接點 $V_{i_0},V_{i_2}$ 的輔助線叫做多邊形的一條對角線，把頂點 $V_{i_1}$ 叫做耳朵尖（貓貓的耳朵根根和耳朵尖尖，懂得都懂）。一個三角形就是一只貓貓耳朵，三角形的任意一個頂點都可以是耳朵尖尖。

有四條邊及以上的多邊形擁有至少兩只不重疊的耳朵，這就提供給我們一個遞歸實現多邊形三角化的思路。若在含有 $n\geq 4$ 個頂點的多邊形內確定并移除一個三角形，移除后的多邊形具有 $n-1$ 個頂點。重復該過程，即是復雜度為 $O(n^3)$ 的三角化算法。

咔耳朵算法

好消息：咔耳朵算法的復雜度可以降到 $O(n^2)$

壞消息：難的步驟要來了

step1

首先，將多邊形以雙鏈表形式存儲，以便快速咔掉耳朵尖尖。這個步驟的復雜度是 $O(n)$ 。

step2

其次，對頂點進行迭代，分出各個不重疊的貓貓耳朵。對于每個頂點 $V_i$ 和該頂點對應的三角形 $<V_{i-1}, V_i, V_{i+1}>$ ，測試多邊形的其他頂點是否位于該三角形中。該索引對 $n$ 取模，所以 $V_n = V_0$ 且 $V_{-1} = V_{n-1}$ 。如果三角形內不包含多邊形的其他頂點，我們就喜提了一只貓貓耳朵！如果三角形內至少含有多邊形的一個頂點，它就不是貓貓耳朵。在三角形包容測試中效率更高的三角化方法是只考慮反射點。反射點指由兩條邊構成的角度大于 $\pi$ 的內部角的頂點。多邊形的數據結構包含四個同時共用一個存儲數組的雙鏈表，而非動態分配和釋放內存的標準列表數據結構。使用循環鏈表存儲多邊形的所有頂點，線性表存儲凸頂點，另一個線性表存儲反射點，另一個循環鏈表存儲耳朵尖尖。

step3

當完成對存儲反射點和耳朵尖尖的數據列表初始化后，就可以一只接一只地咔掉貓貓耳朵了！若 $V_i$ 是已經被咔掉的貓貓耳朵，那么與其相鄰的頂點 $V_{i-1}$ 和頂點 $V_{i+1}$ 的邊的參數隨之變化。若一相鄰頂點是凸出點，則其仍是凸出點。若一相鄰頂點是耳朵，在移除 $V_i$ 后它可能就不再是耳朵了。若為反射點，則可能變為凸出點或耳朵。在移除 $V_i$ 后，若存在一凸出的相鄰頂點，則必須通過遍歷反射點和測試三角形內是否包含點來驗證該相鄰頂點是否為耳朵。整個過程的復雜度是 $O(n^2)$

算法示例

以第一張圖的簡單多邊形為例

初始的簡單多邊形

凸出頂點的初始列表為 $C = \{0,1,3,4,6,9\}$

反射頂點的初始列表為 $R = \{2,5,7,8\}$

耳朵尖尖的初始列表為 $E = \{3,4,6,9\}$ （再復習一遍，耳朵尖尖=這個點是凸出點+和這個點相鄰的兩個點的連線完全在多邊形內部）

凸出點	$C = \{0,1,3,4,6,9\}$
反射點	$R = \{2,5,7,8\}$
耳朵尖尖	$E = \{3,4,6,9\}$
三角形	暫無

① 把耳朵尖尖 $3$ 對應的貓貓耳朵咔掉，那么三角化咔出來的第一個三角形就是 $T_0 = <2,3,4>$ 。

咔掉第一個三角形

與 $V_3$ 相鄰的頂點 $V_2$ 初始時是反射點，咔掉 $T_0$ 后仍是反射點。與 $V_3$ 相鄰的頂點 $V_4$ 初始時是耳朵尖尖，咔掉 $T_0$ 后仍是耳朵尖尖。可知反射點列表 $R$ 維持原狀，但耳朵尖尖列表變為 $E = \{4,6,9\}$ 。

凸出點	$C = \{0,1,4,6,9\}$
反射點	$R = \{2,5,7,8\}$
耳朵尖尖	$E = \{4,6,9\}$
三角形	$T_0=<2,3,4>$

② 然后把頂點 $4$ 對應的耳朵咔掉，可得三角化后的又一個三角形 $T_1 = <2, 4, 5>$ 。

咔掉第二個三角形

與 $V_4$ 相鄰的頂點 $V_2$ 初始時是反射點，咔掉 $T_0$ 后仍是反射點。與 $V_4$ 相鄰的頂點 $V_5$ 初始時是反射點，咔掉 $T_1$ 后變成了凸出點，經過測試后確定為耳朵尖尖，故從反射點列表中移除 $V_5$ ，反射點列表變為 $R = \{2,7,8\}$ 。但耳朵尖尖列表變為 $E = \{4,6,9\}$ 。