3D物體從三維坐標映射到2D屏幕上，要經過一系列的坐標系變換，這些坐標系如下：
- model
物體本身（local）的坐標系，是相對坐標。
比如一個3D人物模型，頭部某個點的坐標為（0，0，20），這是相對該模型的中心點（0，0，0）說的。當模型向前移動了5個單位，其中心點依舊是（0，0，0），頭部那個點依舊是（0，0，20） - world
世界坐標系，即物體放在世界里的坐標，也就是大家最能理解的那個坐標。
還是上面的例子，他沿Z軸移動了5個單位后，中心點在世界坐標里變成了（0，0，5），頭部那個點變成了（0，0，25）。
物體的位移，縮放，旋轉會改變它的世界坐標，不會改變它的model坐標。 - image
相機坐標系。
相機也是世界里的一個物體，相機坐標就是以相機位置為坐標原點，相機的朝向為Z軸方向的坐標系。因為我們在電腦里看到的物體其實都是“相機”幫助我們看的，“相機”就是我們的眼睛，所以要以相機為標準進行坐標轉換。
在model，world，image坐標系下，X,Y,Z的范圍都是無窮大，只是坐標系的基準不一樣而已。 - perspective (NDC, Normalized Device Coords)
透視坐標系。
這一步是將三維坐標向二維平面進行映射，經過透視變換之后，（x, y）的范圍在[-1, 1]，z的范圍在[0, 1]
可能有點難以理解，本文后面會有專門解釋。 - screen
屏幕坐標系。
因為屏幕是有分辨率的，比如1920×1080，所以還要再進行一次變換。
該坐標系的原點在屏幕左上角，x軸朝右，y軸朝下。x的范圍在[0, xres-1]，y的范圍在[0, yres-1]，即x是[0, 1920)，y是[0, 1080)。
z值是[0, MAXINT]，z=0就是屏幕那個平面，z=MAXINT就是無窮遠。
經過這5個坐標系空間的變換，3維物體才最終投影到2維電腦平面上。
坐標系的變換矩陣
不清楚什么是變換矩陣，以及不清楚四維坐標的請看我之前的文章
1. 從model變到world
從模型本身的相對坐標變換到世界坐標，就是平移，旋轉，縮放。
2. 從world變到image（相機坐標）
這一步是將物體在世界的坐標轉換為相對相機的坐標。
相機也是世界里的物體，我們假定相機的中心點在世界里的位置是C（Cx, Cy, Cz）
相機正在看著某個方向，我們假定相機正在看的點的位置是I（Ix, Iy, Iz）
那么，相機的Z軸就是它看的方向的向量，即CI向量，也就是I - C = （Ix-Cx, Iy-Cy, Iz-Cz），我們將其標準化（即讓它的模為1），得到Z軸單位向量。
然后我們取世界坐標系里的up向量（0，1，0）
得到Z軸后求X, Y軸有兩個方法：
方法1：
通過up叉乘Z（注意順序），我們可以得到一個向量X1，將X1標準化（即使其模為1），我們就得到了X軸的單位向量。
在通過Z軸的單位向量與X軸的單位向量叉乘，即Z×X（注意順序），我們就得到了Y軸的單位向量。
方法2：
up' = up - (up·Z)Z
注意：（Z的模是1）
將up'標準化得到Y，Y×Z = X
然后我們就可以構造Xiw這么一個將世界坐標系投影到相機坐標系的變換矩陣了。
如何構造？
1）世界坐標系中，相機原點為（Cx, Cy, Cz），在相機坐標系中為（0，0，0）
所以，（0, 0, 0） = Xiw*（Cx, Cy, Cz）
2）世界坐標系中，相機的三個軸為X+C（Xx+Cx, Xy+Cy, Xz+Cz）, Y+C（Yx+Cx, Yy+Cy, Yz+Cz）, Z+C（Zx+Cx, Zy+Cy, Zz+Cz），但在相機坐標系下為（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）
所以
（1, 0, 0） = Xiw*（Xx+Cx, Xy+Cy, Xz+Cz）
（0, 1, 0） = Xiw*（Yx+Cx, Yy+Cy, Yz+Cz）
（0, 0, 1） = Xiw*（Zx+Cx, Zy+Cy, Zz+Cz）
結合上面2步的四個式子，可以求出Xiw
它的幾何意義就是先把坐標系移動到相機的原點處（最后一列Cx,Cy,Cz），然后再旋轉來調整到相機的X,Y,Z軸。
3. 從image變到perspective
當x=0時，yz平面如上圖所示。
z = -d是我們的觀察點，而Z=0就是相機的膠片，或者我們的視網膜，場景要投射到Z=0這個二維平面上。
我們需要將在相機坐標系里的（0，Y，Z）這個點投到Z = 0這個平面上，即a點，a點坐標為（0，y，0）。
根據三角形相似可知：
y/d = Y/(Z+d)
y = Yd/(Z+d) = Y/[(Z/d)+1]
我們對X和Z做同樣的操作，最終，一個相機坐標系里的點（X, Y, Z）會變成
（X/[(Z/d)+1]，Y/[(Z/d)+1]，Z/[(Z/d)+1]），這樣就投射到了Z=0這個平面上了。
注意
我們也不一定非要投到Z=0這個平面，投到Z=1,Z=d的平面都可以，式子是一樣的。
我們可以看出來，這個變換就是將坐標除了一個(Z/d)+1。
因此，將四維坐標轉換為Perspective坐標的變換矩陣為
經過該矩陣變換之后的四維坐標為（X, Y, Z, Z/d+1），轉換為三維坐標即為（X/[(Z/d)+1]，Y/[(Z/d)+1]，Z/[(Z/d)+1]）
Perspective矩陣的定義的X, Y的范圍在[-1,1]，而X/[(Z/d)+1]，Y/[(Z/d)+1]的范圍是負無窮到正無窮，所以一旦X/[(Z/d)+1]，Y/[(Z/d)+1]超出[-1, 1]的范圍，就直接扔掉不顯示在屏幕上了。
Perspective矩陣定義的Z的范圍在[0,1]，所以還要將Z進一步限制，所以最終的矩陣為
這樣子z的值就成了(Z/d)/[(Z/d)+1]，即1/[1+d/Z]，滿足[0,1]這個范圍了。
而這個d又是多少呢？
FOV (Field of View)是定義相機視錐垂直方向（y軸方向）的張角（它是個角度），該張角與Z=0這個投影平面的交點是-1和1，因為x，y的范圍是[-1,1]。
從上圖可以看出，1/d就是tan（FOV/2）
4. 從perspective變到screen
定義屏幕分辨率為xs × rs
要將透視坐標系里的點映射過來，這個變換矩陣怎么構造？(參考Xiw)
1）首先我們先構造一個4維標準矩陣，即對角線都是1，其余都是0。
2）屏幕坐標系的原點是左上角，而perspective里的原點（0，0）在屏幕中應該位于屏幕中央，即（xs/2, ys/2）。那么perspective里的原點（0，0）會映射為（xs/2, ys/2），即位移一個（xs/2, ys/2，0）。
所以4維矩陣的最后一列是（xs/2, ys/2，0，1）
3）屏幕坐標系中x的范圍是[0, xs)，y的范圍是[0, ys)。而Perspective坐標系中x和y的范圍是[-1,1]，所以這個映射還要滿足-1映射到0，1映射到xs或ys。
目前為止，我們的4維矩陣變成了這樣：
注意：我們可以很明顯的發現矩陣第二行第二列是負的，這是因為之前的坐標系都是y軸正方向朝上的，而屏幕坐標系是y軸正方向朝下的，是反的，所以是負號，即perspective里的-1映射到屏幕里的ys，1映射到屏幕里的0。
4）屏幕坐標系中z的范圍是[0, MAXINT]，Perspective坐標系中z是[0,1]，所以再對z進一步限制，即1映射到MAXINT，得到最終結果。
所以，一個3D物體顯示到電腦屏幕上，要經過4重坐標系變換。
screen Xsp perspective (NDC) Xpi image Xiw world Xwm model
在實際的渲染引擎運行中，Xsp和Xpi基本不會變，因為你的屏幕分辨率很少會變動。Xiw會在相機移動和旋轉時改變。Xwm會在物體平移，旋轉，縮放時改變。
