優先隊列是一種抽象的數據類型，表示一組值和對這些值的操作，其中最重要的操作就是刪除最大元素和插入元素。

二叉堆數組中，每個元素都要保證大于等于另兩個特定位置的元素，相應這些位置的元素又至少要大于等于數組中的另兩個的元素。

如果將所有元素弄成一個二叉樹，靈魂畫手就覺得此事很簡單：

二叉樹.png

這是一個二叉樹，其中當它每一個節點都大于等于它的兩個子節點時，稱之為堆有序。

比如C D一定小于B B，E一定小于A。但E和B的大小比較不一定，可能E比D還小也說不定。唯一可確定的是，樹的根節點，A一定是最大的元素。

二叉堆表示法：

如果我們用指針來表示堆有序的二叉樹，那么每個元素都需要三個指針來找到它的上下結點，雖然可能不會全用上。如果我們采用完全二叉樹complete tree
（完全二叉樹從根結點到倒數第二層滿足完美二叉樹（完美就是都是有兩個子結點，而且高度填充一樣），最后一層可以不完全填充，其葉子結點都靠左對齊。）
甚至可以用數組直接表達，具體是層級表示，比如根節點在序號1，子節點則在序號2和3，以此類推（并不用序號0）

二叉堆就是一組堆有序的完全二叉樹排序的元素，在數組中按照層次存儲。一棵大小為N的完全二叉樹的高度為log2N下取整（只有一個父結點高度認為為0）

這些元素在數組中用層次存儲是有規律的，二叉堆中，位置k的結點的父結點的位置在（k/2下取整），它的兩個子結點的位置為2k和2k+1。

上浮實現堆有序化

如果堆有序狀態因為某個結點變得比它的父結點更大而被打破，這樣就要不斷交換它和它的父結點來修復有序狀態。這種就好像是小弟立了功就被人提拔上去的感覺。

private void swim(int k){
  while(k>1&&(k/2)<k){
       exchange(a,k,k/2);
       k=k/2; 
 }
}

下沉實現堆有序化

父結點比子結點的數小，所以父結點要和它的子結點交換，直到它沒有子結點或者比子結點大為止。差不多就是上司犯錯然后被降級的感覺

    private void sink(int k) {
        while(2*k<=n) {
            int j=2*k;
            if(j<n&&a[j]<a[j+1])j++;  //找到兩個子結點中較大的那個
            if(a[k]>=a[j])break;
            exchange(k, j);
            k=j;
        }
    }

根據上面的sink和swim就可以實現對一個堆有序序列進行元素的增刪，并維護它的順序

public class MaxPQ {
    private int n=0;
    private int[] a;
    public MaxPQ(int maxlength) {
        a=new int[maxlength];
    }
    public int size() {
        return n;
    }
    public void insert(int v) {
        a[++n]=v;
        swim(n);
    }
    public int delmax() {        //這個很帥，將最大的拿出來讓最底層的結點放上面來然后下沉排序
        int max=a[1];
        exchange(1, n--);
        sink(1);
        return max;
    }
    private void swim(int k){
        while(k>1&&(k/2)<k){
           exchange(k,k/2);
           k=k/2; 
        }
    }
    private void sink(int k) {
        while(2*k<=n) {
            int j=2*k;
            if(j<n&&a[j]<a[j+1])j++;
            if(a[k]>=a[j])break;
            exchange(k, j);
            k=j;
        }
    }
    
    
    private  void exchange(int i,int j) {
        int temp=a[i];
        a[i]=a[j];
        a[j]=temp;
    }
}

對于這個有幾點改進

1. 這個可以用不定容數組代替定容數組
2. 可以通過模擬多叉樹來實現多叉堆，比如三叉堆就是位置k的元素有3k-1、3k、3k+1三個結點。同理修改d叉樹也不是什么難事，我們需要在樹高和d個子結點找到折中。
3. 添加索引，方便從大到小遍歷元素

堆排序

堆排序分成兩個階段，構造堆和下沉排序階段。

堆的構造分成兩種：一個是通過數組的從左往右遍歷數組調用swim，一種是從右往左遍歷數組調用sink方法。聽說好像后面那種更加聰明。

有一種堆排序的實現方式如下，開始時掃描數組一半的元素用sink方法，因為我們可以跳過大小為一的子堆，因為n/2-n這些元素都是沒有子結點的結點。
這里sink方法改了一下方法參數，但內容是一樣的

public static void sort(int [] a){
          int n=a.length();
          for(int k=n/2;k>=1;k--){
              sink(a,k,n);
}
//上面方法結束后保證堆有序了

//下沉排序
  while(n>1){
    exch(a,1,n--);  //交換位置且縮小堆
    sink(a,1,n);
}
}

下沉排序主要工作是在第二階段完成的。這里我們將堆中最大元素刪了，放在縮小堆后空出來的位置（其實是交換了元素位置再縮小堆）。然后再sink

堆排序是唯一一個能同時最優利用時間和空間的排序。在最壞的情況下也能保證2Nlogn的比較和恒定額外的空間。但是它很少利用緩存（啥意思？）