第一種類型：買賣限制各一次

給定一個數組 prices ，它的第 i 個元素 prices[i] 表示一支給定股票第 i 天的價格。

你只能選擇 某一天 買入這只股票，并選擇在 未來的某一個不同的日子 賣出該股票。設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。

返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回 0 。

示例 1：

輸入：[7,1,5,3,6,4]
輸出：5
解釋：在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出，最大利潤 = 6-1 = 5 。
注意利潤不能是 7-1 = 6, 因為賣出價格需要大于買入價格；同時，你不能在買入前賣出股票。
示例 2：

輸入：prices = [7,6,4,3,1]
輸出：0
解釋：在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。

暴力法 無法通過OJ

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        result = 0
        for i in range(len(prices)):
            for j in range(i+1, len(prices)):
                tmp = prices[j] - prices[i]
                if tmp > result:
                    result = tmp
        return result

一次遍歷

因此，我們只需要遍歷價格數組一遍，記錄歷史最低點，然后在每一天考慮這么一個問題：如果我是在歷史最低點買進的，那么我今天賣出能賺多少錢？當考慮完所有天數之時，我們就得到了最好的答案。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        result = 0
        if len(prices) == 0:
            return result
        min_price = prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            if prices[i] < min_price:
                min_price = prices[i]
            else:
                profit = prices[i] - min_price
                if profit > result:
                    result = profit
        return result

不限制買賣次數, 但是持有股票不超過1支

買賣股票的最佳時機 II
給定一個數組 prices ，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的價格。

在每一天，你可能會決定購買和/或出售股票。你在任何時候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以購買它，然后在 同一天 出售。
返回 你能獲得的 最大 利潤 。

示例 1:
輸入: prices = [7,1,5,3,6,4]
輸出: 7
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 3 天（股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
隨后，在第 4 天（股票價格 = 3）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 6-3 = 3 。

示例 2:
輸入: prices = [1,2,3,4,5]
輸出: 4
解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之后再將它們賣出。因為這樣屬于同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

示例 3:
輸入: prices = [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。

貪心算法

收集所有的上坡即可拿到所有的收益

func maxProfit(prices []int) int {
    ans := 0
    for i := 1; i < len(prices); i++{
        ans += max(0, prices[i]-prices[i-1])
    }
    return ans

}

func max(x, y int) int{
    if x > y{
        return x
    }else{
        return y
    }
}

動態(tài)規(guī)劃的思想

由于限制了每天的最多只能持有一只股票，所以每天手頭可以擁有的股票數是0或1只。
分別用dp[i][0]、dp[i][1]表示第i天交易完成后手頭有0和1只股票情況下的最大收益。
dp[i][0] = max(dp[i-1][1]+prices[i], dp[i-1][0])
dp[i][1] = max(dp[i-1][0]-prices[i], dp[i-1][1])

其中dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0]

func maxProfit(prices []int) int {
    dp := make([][2]int, len(prices))
    dp[0][1] = -prices[0]
    for i := 1; i < len(prices); i++{
        dp[i][0] = max(dp[i-1][1]+prices[i], dp[i-1][0])
        dp[i][1] = max(dp[i-1][0]-prices[i], dp[i-1][1])
    }
    return dp[len(prices)-1][0]

}

func max(x, y int) int{
    if x > y{
        return x
    }else{
        return y
    }
}

限制只能交易2次

123. 買賣股票的最佳時機 III

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成 兩筆 交易。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
輸出：6
解釋：在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。
隨后，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8 天 （股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。
示例 2：

輸入：prices = [1,2,3,4,5]
輸出：4
解釋：在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之后再將它們賣出。
因為這樣屬于同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。
示例 3：

輸入：prices = [7,6,4,3,1]
輸出：0
解釋：在這個情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。
示例 4：

輸入：prices = [1]
輸出：0

動態(tài)規(guī)劃

只允許交易兩次，那么任意一天的狀態(tài)可以分為5種：

• 0次交易
• 1次買入
• 1次買入1次賣出
• 1次交易 1次買入
• 2次交易
  第一種情況收益為0，不考慮
  分別記為buy1，sell1，buy2，sell2，則轉移方程為：
  buy1[i] = max(buy1[i-1], -prices[i])
  sell1[i] = max(sell1[i-1], buy[i-1]+prices[i])
  buy2[i] = max(buy2[i-1], sell1[i-1]-prices[i])
  sell2[i] = max(sell2[i-1], buy2[i-1]+prices[i])
  初始化值為：
  buy1[0] = -prices[0]
  sell1[0] = 0
  buy2=-prices[0]
  sell2=0

func maxProfit(prices []int) int {
    n := len(prices)
    buy1 := make([]int, n)
    sell1 := make([]int, n)
    buy2 := make([]int, n)
    sell2 := make([]int, n)
    buy1[0], sell1[0] = -prices[0], 0
    buy2[0], sell2[0] = -prices[0], 0
    // fmt.Println(buy1,sell1, buy2, sell2)
    for i := 1; i < len(prices);i++{
        buy1[i] = max(buy1[i-1], -prices[i])
        sell1[i] = max(sell1[i-1], buy1[i-1]+prices[i])
        buy2[i] = max(buy2[i-1], sell1[i-1]-prices[i])
        sell2[i] = max(sell2[i-1], buy2[i-1]+prices[i])
        // fmt.Println(i, -prices[i], buy1,sell1, buy2, sell2)
    }
    fmt.Println(sell1, sell2)
    return max(sell2[n-1], sell1[n-1])

}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

限制改為最多進行k次交易，仍然限制最多只能同時持有1只股票

這塊還沒有特別懂

func maxProfit(k int, prices []int) int {
    n := len(prices)
    if n == 0{
        return 0
    }
    buy := make([][]int, n)
    sell := make([][]int, n)
    for i, _ := range buy{
        buy[i] = make([]int, k+1)
        sell[i] = make([]int, k+1)
    }
    for i := 1; i <= k; i++ {
        buy[0][i] = math.MinInt64 / 2
        sell[0][i] = math.MinInt64 / 2
    }


    buy[0][0] = -prices[0]
    for i := 1; i < n; i++{
        buy[i][0] = max(buy[i-1][0], sell[i-1][0]-prices[i])
        
        for j := 1; j <= k; j++{
            buy[i][j] = max(buy[i-1][j], sell[i-1][j]-prices[i])
            sell[i][j] = max(sell[i-1][j], buy[i-1][j-1]+prices[i])
        }
    }
    return max(sell[n-1]...)

}

func max(a ...int) int{
    res := a[0]
    for _, v := range a{
        if v > res{
            res = v
        }
    }
    return res
}