理學(xué)院? 18數(shù)本二班? 楊春玉

最近我們正在學(xué)習(xí)積分相關(guān)知識(shí)，不知覺中激發(fā)了我對(duì)積分的學(xué)習(xí)興趣?，F(xiàn)在，跟著我一起走進(jìn)積分吧！

不定積分的相關(guān)知識(shí)是微積分中重要的知識(shí)，掌握不定積分的求法是學(xué)好微積分的前提。不定積分的求法和定積分的求法有一定的相關(guān)性，在求面積以及質(zhì)量中也有一定的應(yīng)用。下面是基于自己對(duì)不定積分的理解，對(duì)不定積分的求法進(jìn)行了總結(jié)，首先向大家闡述微積分的時(shí)代背景及其創(chuàng)立。

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的簡稱。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希臘的求積術(shù)，但直接原因是17世紀(jì)的科技問題。后來微積分的大量知識(shí)積累起來，但這些知識(shí)往往沉湎于細(xì)節(jié)，而且多用幾何方法尋求嚴(yán)密的推理，忽略了新發(fā)展的解析幾何。英國的牛頓和德國的萊布尼茨最終完成了微積分的創(chuàng)造，歷時(shí)上對(duì)于誰先創(chuàng)造了微積分還有很大的爭(zhēng)議，后來數(shù)學(xué)史統(tǒng)一認(rèn)為兩位數(shù)學(xué)家都死微積分的創(chuàng)作者。牛頓，據(jù)牛頓自述，他于1665年發(fā)明正流數(shù)術(shù)（即微分法），1666年建立反流數(shù)術(shù)（即積分法），1666年寫出第一篇微積分論文《流數(shù)簡述》，其中以速度形式引進(jìn)了流數(shù)，使用無窮小瞬概念，建立了“微積分基本定理”,并討論了正、反微分運(yùn)算的各種應(yīng)用。但到了1687年，牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》在倫敦出版，這才是他第一次公開表述了微積分方法。萊布尼茨，1673年闡述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通過積分變換，得到平面曲線的面積公式。1675年10月，他使用了不定積分符號(hào)，用不定積分表示面積，還得到分部積分公式。1675-1676年他得到微積分基本定理，后來后來這一原理被稱為“牛頓－萊布尼茨公式”。1677年他明確定義了dy為函數(shù)的微分，給出了dy的演算規(guī)則。1684年，萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文。

最初是在高中接觸不定積分，那時(shí)學(xué)到的只是皮毛。進(jìn)入大學(xué)后我們學(xué)的更加深入，通過與老師學(xué)習(xí)及查閱資料，整理以下幾種求不定積分的方法。（1）利用定義來求不定積分，注意利用不定積分的定義來求不定積分關(guān)鍵在于能夠找到f(x)的一個(gè)原函數(shù)。（2）直接積分法，求不定積分是經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃校瑢⒈环e函數(shù)化為基本積分公式中的幾個(gè)被積函數(shù)的代數(shù)和，再利用基本積分公式和性質(zhì)來求不定積分的方法。利用直接積分法的關(guān)鍵在于將被積函數(shù)恒等化為基本積分公式中的幾個(gè)被積函數(shù)的代數(shù)和，要注意的是在恒等變化時(shí)不要犯錯(cuò)，以及基本積分公式要牢記，不要犯錯(cuò)。（3）第一類換元積分法（湊微分法），湊微分法就是把被積式子中的某一部分看成一個(gè)整體，而把被積式子湊成關(guān)于這個(gè)整體的積分公式。（4）第二類換元法常用的換元技巧如下：三角代換；倒代法；去根號(hào)法。（5）分步積分法，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或者冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，可以考慮分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為u，這樣用一次分部積分就可以使得冪函數(shù)的冪次降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，可以考慮用分部積分法，并設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為u.

不定積分是微積分中重要的部分，不定積分的概念，性質(zhì)，求法，以及應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中有著至關(guān)重要的位置，也是微積分中的基礎(chǔ)部分，所以掌握不定積分的求法是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，不定積分的求法很多種，這里主要講了利用定義求法、直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分步積分法五種最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定積分的題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)先分析題目結(jié)構(gòu)，然后選擇最方便求解的方法。

大家了解積分的基本知識(shí)，其實(shí)積分的學(xué)習(xí)不難，只要細(xì)心總結(jié)，認(rèn)真學(xué)習(xí)基本知識(shí)，那么不定積分的求法就可以深刻的掌握，對(duì)高等數(shù)學(xué)可以從容應(yīng)對(duì)。在這寫作過程中，我感受到了知識(shí)的丟失和自己知識(shí)面的不足，不能系統(tǒng)全面得總結(jié)不定積分的知識(shí)。但是，我還是未能對(duì)不定積分的求法作深入的探討，只考察了不定積分求法的五種方法，而且討論較為粗淺。

事實(shí)上，積分是高等數(shù)學(xué)必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，在現(xiàn)代科技中有大量的應(yīng)用。也是深入研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。掌握不定積分的求法，對(duì)我們的工作和繼續(xù)教育有重要意義。