源自：技術鄰
作者：大龍貓
為了了解和掌握軸心受壓柱特征值屈曲和非線性屈曲差異，以及考慮在屈曲分析中劃分不同單元數量對分析結果的影響，選取適當的單元數量，利用有限元軟件ANSYS對結構進行分析。初步了解特征值屈曲與非線性屈曲所得結果差異。在此基礎上進行了多例軸心受壓柱的仿真模擬分析，同時考慮不同長細比對屈曲分析結果的影響，掌握了長細比變化對軸心受壓柱特征值屈曲和非線性屈曲的計算結果的影響規律。提出工程中應盡量采取非線性屈曲分析，并在分析中采取正確的分析方法。
引言：
隨著計算機的發展人類實現了一個又一個的突破，大大提高了產品開發、設計、分析和制造的效率和產品性能。有限元理論的發展對于建筑專業更是一個飛躍。在結構線彈性計算中，一般都假定在加載過程中用結構變形前的形狀來代替結構變形后的形狀。然而結構在實際工程結構中，往往存在大位移、大轉角或大應變等問題。這時的平衡條件就應如實的建立在變形后的形狀上，以考慮變形對平衡的影響，因此要考慮非線性屈曲分析。在進行ANSYS分析時，如果單元數量選取不當，會使結果產生很大的誤差，選取正確的單元數量是計算的前提條件。
一． 劃分不同單元數量對特征值屈曲和非線性結果影響的分析
本節討論特征值屈曲和非線性屈曲結果影響分析受單元網格密度的影響，通過分析時通過改變網格密度，所得計算結果提取第一階特征值屈曲穩定系數和非線性屈曲系數。通過所得數據進行對比，當前后兩個結果滿足一定誤差要求時，即可認為結果正確，否則應繼續改變網格密度進行比較。最終找到本單元類型所需劃分最佳的單元數量。
1.有限元模型參數
（1）單元類型：BEAM189
（2）截面尺寸：寬度B=0.05，高度H=0.05，長度L=5m
（3）材料屬性：Q235鋼， EX= 2.06×1011pa，泊松比NUXY=0.3，
（4）劃分單元數： 變量
（5）約束情況：上、下端均端為鉸接
（6）分析類型：屈曲分析
（7）受力特征：上端集中力F=-1N。
2. 建立計算分析模型
圖（1） 模型圖
3.ANSYS分析結果
表（1）分析結果
分析結果繪成曲線如圖:
圖（2）不同單元數量特征值屈曲結果
圖（3）不同單元數量非線性屈曲結果
5.結果分析
通過beam189單元類型進行分析所得數據進行對比可知，當單元數量為100時，特征值屈曲和非線性屈曲前后兩個結果已滿足一定誤差要求時，可認為結果正確。因此之后分析時選著單元數量為100。
二． 軸心受壓柱特征值屈曲和非線性屈曲的ANSYS分析
在 ANSYS 中，穩定分析分為兩類：線性特征值屈曲分析和非線性屈曲分析。
本節通過改變截面尺寸達到改變桿件長細比的目的，選取模型長度為l=5m，由于長細比（）的變化只與截面剛度有關。本節針對7種不同的大柔度桿（）進行分析，截面尺寸及截面慣性矩如表（2），截面1-4取截面慣性矩變化梯度為200cm4，截面4-7取截面慣性矩變化梯度為10cm4。最后把特征值屈曲和非線性屈曲所得結果進行對比，提出什么情況下可以選著用特征值屈曲什么情況下選擇用非線性屈曲。
1.有限元模型參數
（1）單元類型：BEAM189
（2）截面尺寸：寬度B、高度H如表（2）所示，長度L=5m
（3）材料屬性：Q235鋼， EX= 2.06×1011pa，泊松比NUXY=0.3，
，
=100
（4）劃分單元數： 100
（5）約束情況：上、下端均端為鉸接
（6）分析類型：屈曲分析
（7）受力特征：上端集中力F=-1N。
表（2）截面尺寸和剛度
2. 建立計算分析模型
如上圖（1）
3. 理論分析
（1）特征值屈曲分析
有限元法對結構靜力屈曲失穩問題的分析，對于解決線性屈曲問題，應用特征值計算方法。特征值算法是通過特征值分析計算屈曲載荷，該類屈曲分析主要是針對平衡臨界狀態的求解，其中包括臨界載荷和屈曲模態的求解；按特征值分析屈曲、失穩臨界載荷是一種簡便的穩定性分析方法，可以獲得平衡路徑的分叉點。
對于受壓結構，隨著壓應力的增加，結構抵抗橫向變形力的能力下降。當載荷大到某一水平，結構總體剛度變為零，喪失穩定性。屈曲分析研究失穩發生時的臨界載荷和失穩形態?；诮Y構失穩前系統剛度陣出現奇異，可將失穩問題轉化為特征值問題處理。線性屈曲載荷的計算，屬于結構小位移材料線彈性的屈曲范疇。對于總體 Lagrange 式的幾何非線性的有限元方程可以寫為：
(1)
其中是與應變表達式中非線性應變相關的部分，而是與應變表達式中線性應變相關的部分，是由于初始應力引起的，通常稱為初應力矩陣。是相關的外力項。另外，其中為初位移剛度矩陣或大位移剛度陣，為初應力剛度陣或幾何剛度陣。
對于特征值穩定問題，載荷可以表示為。其中是載荷模式，是載荷幅值。求解過程應該首先求解對應于載荷的線性平衡問題
(2)
其中是結構的線彈性剛度矩陣。從上式解得，進而可以得到結構內的應力分布。結構臨界載荷，可以通過求解關于的特征值問題得到。
如果認為在結構初始失穩時，初始位移仍然很小，則可以在有限元方程中忽略其影響，并且可以忽略大位移剛度陣。(1)式變為：
(3)
在總體Lagrange式中，將代入上式，并考慮到結構達到穩定的臨界載荷時，可認為
為 0，則得到下列方程：
（4）
這就是結構穩定的求解問題。要使（4)有非零解，則需保證
（5）
上式為一個廣義的特征值方程，求解式(5)解得各階特征值λ ，從而得到相應的其它物理量。
對于大柔度軸心受壓桿件理論上采用歐拉臨界力計算公式：
（6）
為歐拉臨界應力，E為材料彈性模量，為桿件計算長度系數，為桿件實際長度。
線性特征值屈曲分析省略了非線性項，作為一種線性屈曲分析方法，是對理想彈性結構的理論屈曲強度的預測，滿足于經典的解析理論。忽略了各種非線性因素和初始缺陷對屈曲失穩載荷的影響，使屈曲問題大大簡化，從而提高了屈曲失穩分析的計算效率。但是，由于材料的缺陷和非線性，往往導致結構在理論彈性屈曲強度之外的點位發生屈曲。因此，線性特征值屈曲分析經常得到的是非保守結果，得到的失穩載荷可能與實際相差較大。通常情況下不能用于實際的工程分析。
（2）非線性屈曲分析
因幾何變形引起結構剛度改變的一類問題都屬于非線性問題。非線性通常分為大應變、大位移和應力剛化。以上三種大應變導致結構剛度變化的因素，即單元形狀改變、單元方向改變和應力剛化效應。此時應變不再假定是“小應變”而是有限應變或“大應變”。
非線性屈曲分析采用幾何非線性的荷載一位移全過程跟蹤有限元分析。由能量原理可得到修正的拉格朗日(U．L．)形式的非線性增量有限元基本方程：
(7)
(6)式中，
為結構在狀態的切線剛度矩陣，
，其中[KE]為結構的線彈性剛度矩陣；
為
次迭代時初應力剛度或稱幾何剛度矩陣(軸向力規定以拉力為正)，它考慮了單元內力對結構變形的影響；
為結構次迭代時初位移剛度矩陣或稱大位移矩陣，它考慮了結構位置變化對平衡的影響(或結構的變形對剛度的影響)。為結構在+1次迭代過程中位移增量列陣，為+1次迭代過程的荷載比例系數；為初始選定不變的節點荷載向量；
為次迭代時各單元內力等效的節點力向量。方程(1)的求解采用把弧長法(Arc．Length Method)和Newton—Raphson法相結合的增量迭代法。荷載增量采用弧長法自動加載?；￠L法將荷載比例系數和未知位移同時作為變量，用曲線弧長來控制荷載步長，可使Newton．Raphson法平衡迭代沿一條弧收斂到其平衡路徑，以避免矩陣在那些奇異點處變為奇異矩陣，從而避免了結構在加載時某些點可能出現的物理意義上的不穩定(即結構的荷載一位移曲線的斜率為零或負值)，并控制收斂性，幫助穩定數值求解。
4. 基于ANSYS分析
本節選取編號1截面型式進行詳細分析，其他編號截面計算步驟相同只給出計算結果。
（1）特征值屈曲分析
選取編號1截面，分析方式為靜力分析，并且打開預應力選項，求解。在列桿件屈曲方程時，都假定構件有了一定的側向變形，預應力效應與此相似。打開預應力效應是把靜力分析的結果產生的幾何剛度加進去。選擇求解方式為Block Lanczos，并且選擇提取5階屈曲模態，并且在載荷步選項卡中設定對 5階屈曲模態進行擴展，求解。下面幾幅圖顯示了不同模態的結果。
圖（4）第一階屈曲模態
圖（5）第二階屈曲模態
圖（6）第三階屈曲模態
圖（7）第四階屈曲模態
圖（8） 第五階屈曲模態
線性特征值屈曲分析所產生的多階模態結果，直觀來看，是對于線性屈曲計算產生的不同特征值所繪制的變形圖，然而工程實際是不會對同一個結構產生多種屈曲的，當承載使其達到第一階屈曲的載荷時，就會發生屈曲，因此分析時只提取一階屈曲系數，作為實際工程中應用。
提取第一階屈曲系數FQRT1= 677030
（2）非線性屈曲分析
屈曲問題主要分為兩類：分叉點屈曲和極值點屈曲。前面提到的特征值屈曲問題，屬于分叉點屈曲。ANSYS 模擬特征值屈曲問題時，對于理想壓桿的線性特征值屈曲問題，可以很好的模擬；但是，對于非線性特征值問題，ANSYS 并不能給出讓人滿意的解答。但是，可以用解決極值點屈曲問題的方式，也就是壓潰理論，去求解非線性特征值問題。
由于線性特征值屈曲分析僅限于線性問題，忽略了工程實際中確實存在的非線性項，所得的結果不夠準確，所以在實際工程分析中，更多的是采取非線性屈曲分析的方式，解決結構的穩定性分析問題。下面，將在 ANSYS 中實現對理想軸壓桿的非線性屈曲分析，這里將采用靜力學結構分析的方式，使用 Newton－Raphson算法和弧長法(Arc．Length Method)對桿結構進行非線性屈曲分析。由于本論文采用Q235鋼作為材料，極限應力
。
進入求解器，打開大變形選項卡，并且勾選預應力選項，設定迭代子步數為200，求解。得到非線性屈曲系數為552720。最大位移發生在跨中截面處，繪出跨中截面的荷載位移曲線如圖。
圖（9）跨中截面的荷載位移曲線
（3）ANSYS屈曲分析結果
表（3）屈曲分析結果
（4）結果分析
特征值屈曲計算結果與非線性屈曲計算結果相差超出誤差允許范圍，所以在工程中應采取非線性屈曲分析的方式。
隨著截面慣性矩的均勻減小，而特征值屈曲系數與非線性屈曲系數差值越來越小，但差值率基本相差不大。
線性特征值屈曲分析所產生的多階模態結果，是對于線性屈曲計算產生的不同特征值所得的變形。然而工程實際是不會對同一個結構產生多種屈曲的，當承載使其達到第一階屈曲的載荷時，就會發生屈曲，因此第一節屈曲是我們設計時參照的重點。
當作用在梁頂端的載荷逐漸增大時，伴隨著位移增大的同時，結構發生屈曲。對于理想彈性材料，結構的支反力隨著跨中截面UX 方向位移逐漸增大，并且在加載達到一定數值時發生屈曲，曲線在此位置發生了明顯的斜率變化在屈曲位置之后，曲線變得平緩，并且隨著加載的增加，緩慢的增大。
在求解非線性問題時解法的選擇。ANSYS 對屈曲問題不同處理方式有：線性特征值屈曲法，Newton－Raphson 法，弧長法。三種方法各有優劣。線性特征值屈曲法前面已經提到，不適合解決工程實際問題。Newton－Raphson 法可以控制子步數，最為常用。用弧長法作屈曲分析時，一定使用應力剛化，這在非線性屈曲分析中，由于打開了大變形選項而自動滿足。弧長法由于程序可以自動控制步長，所以計算速度快，并且可以更為精確的捕捉到極值點。弧長法可以控制最大步長，如果最大步長太大，可能使求解跨過臨界載荷點；得到一個錯誤的結果。 也可以設定最下迭代步長，使得程序可以不斷縮小步長至最小步長，來達成收斂。
三、結論
1 .基于ANSYS進行屈曲分析中，單元數量的選擇對分析結果影響很大，通過所得數據進行對比，當前后兩個結果滿足一定誤差要求時，即可認為結果正確，否則應繼續改變網格密度得到結果進行比較。最終找到本單元類型所需劃分最佳的單元數量，本論文進行屈曲分析時選取最佳單元數量為100。
2. 線性特征值屈曲分析所產生的多階模態結果，是對于線性屈曲計算產生的不同特征值所得的變形。然而工程實際是不會對同一個結構產生多種屈曲，當承載使其達到第一階屈曲的載荷時，就會發生屈曲，因此第一節屈曲是我們設計時參照的重點。
3. 隨著截面慣性矩的均勻減小，而特征值屈曲系數與非線性屈曲系數差值越來越小，但差值率基本相差不大。
4.特征值屈曲計算結果與非線性屈曲計算結果相差超出誤差允許范圍，所以在工程中應采取非線性屈曲分析。
5.當作用在梁頂端的載荷逐漸增大時，伴隨著位移增大的同時，結構發生屈曲。結構的支反力隨著跨中截面UX 方向位移逐漸增大，并且在加載達到一定數值時發生屈曲，曲線在此位置發生了明顯的斜率變化在屈曲位置之后，曲線變得平緩，并且隨著加載的增加，緩慢的增大。
6. ANSYS 對屈曲問題不同處理方式有：特征值屈曲法，Newton－Raphson 法，弧長法。在選擇求解非線性問題的解法時，我們要根據問題的需要采取最為正確的問題解法。
附：命令流：
/PREP7
B=0.1
H=0.1
L=5
E=2.06E11
p=-1
N=100
ET,1,BEAM189
MP,EX,1,E
MP,PRXY,1,0.3
SECTYPE,1,BEAM,RECT
SECDATA,B,H
K,1
K,2,,L/2
K,3,,L
K,10,0,L/2,L/2
L,1,2
L,2,3
LATT,1,,1,,10,,1
LESIZE,ALL,,,N
LMESH,ALL
FINISH
/SOLU
/VIEW,1,1,1,1
/ESHAPE,1.0
DK,1,UX,,,,UY,UZ,ROTY
DK,3,UX,,,,UZ,ROTY
FK,3,FY,p
PSTRES,ON
SOLVE
FINISH
!特征值屈曲分析
/SOLU
ANTYPE,BUCKLE
BUCOPT,LANB,1
MXPAND,5
OUTRES,ALL,ALL
SOLVE
FINISH
/POST1
SET,LIST
*GET,FREQ1,MODE,1,FREQ
FINISH
!非線性屈曲分析
/CONFIG,NRES,500
/PREP7
TB,BISO,1,1,2
TBTEMP,0
TBDADA,,2.0E8,0
UPGEOM,0.01,1,1,'gangwenyong1','rst',' '
FINISH
/solu
antype,0
nlgeom,1
outres,all,all
arclen,1,0
arctrm,l
nsubst,500,,,1
fk,3,fY,p*freq1
solve
finish
/post26
nsol,2,2,u,X,deflection
rforce,3,1,f,Y,reactionf
/axlab,x,deflection
/axlab,y,reactionf
xvar,2
plvar,3
finish
我們的技術鄰
