本章內(nèi)容源于筆者對極客時間《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之美》以下章節(jié)的學(xué)習(xí)筆記：

• 復(fù)雜度分析（上）：如何分析、統(tǒng)計算法的執(zhí)行效率和資源消耗？
  
• 復(fù)雜度分析（下）：淺析最好、最壞、平均、均攤時間復(fù)雜度

復(fù)雜度分析是整個算法學(xué)習(xí)的精髓，只要掌握了它，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的內(nèi)容基本上就掌握了一半。

為什么需要復(fù)雜度分析

把代碼跑一遍，通過統(tǒng)計、監(jiān)控得到算法執(zhí)行的時間和占用的內(nèi)存大小，這種方法稱為事后統(tǒng)計法，有非常大的局限性：

• 1.測試結(jié)果非常依賴測試環(huán)境
• 2.測試結(jié)果受數(shù)據(jù)規(guī)模的影響很大

我們需要一個不用關(guān)心的宿主環(huán)境、不用具體的測試數(shù)據(jù)來測試，就可以粗略地估計算法的執(zhí)行效率的方法。就是時間、空間復(fù)雜度分析法。

大O復(fù)雜度表示法

假設(shè)每行代碼執(zhí)行的時間都一樣，為單位時間，所有代碼的執(zhí)行時間T(n)與每行代碼的執(zhí)行次數(shù)成正比。我們把這個規(guī)律總結(jié)成一個公式：T(n) = O(f(n))。

• T(n)表示代碼執(zhí)行的時間
• f(n)表示每行代碼執(zhí)行的次數(shù)總和
• n表示數(shù)據(jù)規(guī)模的大小

這就是大O時間復(fù)雜度表示法。

• 注意：大O時間復(fù)雜度實際上并不代表真正的執(zhí)行時間，表示代碼執(zhí)行時間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長的變化趨勢。公式中的低階、常量、系數(shù)三部分并不左右增長趨勢，所以忽略。

時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度全稱漸進時間復(fù)雜度。分析技巧如下：

• 1.只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的一段代碼
• 2.加法法則：總復(fù)雜度等于量級最大的那段代碼的復(fù)雜度
• 3.乘法法則：嵌套代碼的復(fù)雜度等于嵌套內(nèi)外代碼復(fù)雜度的乘積

強調(diào)一下，即便一段段代碼循環(huán)10000次、100000次，只要是一個已知的數(shù)，跟n無關(guān)，照樣也是常量級的執(zhí)行時間。當n無限大的時候，就可以忽略。

以上三種復(fù)雜度的分析技巧不用刻意去記憶，實際上，復(fù)雜度分析這個東西關(guān)鍵在于“熟練”，多看案例多分析。

幾種常見時間復(fù)雜度實例分析

常見復(fù)雜度量級并不多，以下幾乎涵蓋了今后接觸的所有代碼的復(fù)雜度量級。

O(1)

只要代碼的執(zhí)行時間不隨n的增大而增長，時間復(fù)雜度都記作O(1)。一般情況下，只要算法中不存在循環(huán)語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間復(fù)雜度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlog)

對數(shù)階時間復(fù)雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間復(fù)雜度。

i = 1;
while (i <= n) {
    i = i * 2;
}

以上代碼中可以看出，變量i的值從1開始取，每循環(huán)一次就乘以 2，當大于n時，循環(huán)結(jié)束。i的取值是一個等比數(shù)列，求解2^x = n，x = log₂n。

類似的，log₃n = log₃2 * log₂n，不管是以2、3甚至是10為底，都可以轉(zhuǎn)換為c * log₂n，忽略系數(shù)和對數(shù)的“底”，都記作O(logn)。

如果一段代碼的時間復(fù)雜度是 O(logn) ，循環(huán)執(zhí)行n遍，時間復(fù)雜度就是 O(nlogn) 了。

O(nlogn) 也是一種非常常見的算法時間復(fù)雜度。比如，歸并排序、快速排序的時間復(fù)雜度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

代碼的復(fù)雜度由兩個數(shù)據(jù)的規(guī)模來決定。

空間復(fù)雜度分析

空間復(fù)雜度全稱漸進空間復(fù)雜度，表示算法的存儲空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。

空間復(fù)雜度分析比時間復(fù)雜度分析要簡單很多。常見的空間復(fù)雜度就是O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數(shù)階復(fù)雜度平時都用不到。

小結(jié)：復(fù)雜度包括時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，用來分析算法執(zhí)行效率與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。越高階復(fù)雜度的算法執(zhí)行效率越低。常見復(fù)雜度從低階到高階有：
O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n² )。

復(fù)雜度分析的4個概念

• 最好情況時間復(fù)雜度：代碼在最理想情況下執(zhí)行的時間復(fù)雜度。
• 最壞情況時間復(fù)雜度：代碼在最糟糕情況下執(zhí)行的時間復(fù)雜度。
• 平均情況時間復(fù)雜度：引入概率的概念，代碼在所有情況下執(zhí)行的次數(shù)的加權(quán)平均值。

實際上，在大多數(shù)情況下并不需要區(qū)分最好、最壞、平均情況時間復(fù)雜度。只有同一塊代碼在不同的情況下，時間復(fù)雜度有量級的差距，才會使用這三種復(fù)雜度表示法來區(qū)分。

• 均攤時間復(fù)雜度：利用攤還分析法將個別情況的高復(fù)雜度均攤到大部分情況的低復(fù)雜度所得到的時間復(fù)雜度。

應(yīng)用場景：對一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進行一組連續(xù)操作中，大部分情況下時間復(fù)雜度都很低，只有個別情況下時間復(fù)雜度比較高，而且這些操作之間存在前后連貫的時序關(guān)系，這個時候就可以將這一組操作放在一塊兒分析，看是否能將較高時間復(fù)雜度那次操作的耗時，平攤到其他那些時間復(fù)雜度比較低的操作上。

• 一般均攤時間復(fù)雜度就等于最好情況時間復(fù)雜度。
• 均攤時間復(fù)雜度就是一種特殊的平均時間復(fù)雜度。

小結(jié)：引入最好情況時間復(fù)雜度、最壞情況時間復(fù)雜度、平均情況時間復(fù)雜度、均攤時間復(fù)雜度這幾個概念是因為同一段代碼在不同輸入情況下，復(fù)雜度量級有可能不一樣，通過比較分析，我們可以更加全面地表示一段代碼的執(zhí)行效率。

思考題一：有人說，我們項目之前都會進行性能測試，再做代碼的時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度分析，是不是多此一舉呢？而且，每段代碼都分析一下時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度，是不是很浪費時間呢？你怎么看待這個問題呢？

參考回答：

• 1.復(fù)雜度分析是一個理論分析，與宿主無關(guān)，能讓程序員在寫代碼時對算法的執(zhí)行效率有個大致認識，從而寫出效率更高的程序；
• 2.通過練習(xí)就能達到熟練地看出是否浪費時間，比如復(fù)雜度越低階效率越高，為代碼質(zhì)量考慮并不算浪費時間。

思考題二：分析下面這個 add() 函數(shù)的時間復(fù)雜度。

// 全局變量，大小為 10 的數(shù)組 array，長度 len，下標 i
int array[] = new int[10]; 
int len = 10;
int i = 0;

// 往數(shù)組中添加一個元素
void add(int element) {
   if (i >= len) { // 數(shù)組空間不夠了
     // 重新申請一個2倍大小的數(shù)組空間
     int new_array[] = new int[len*2];
     // 把原來array數(shù)組中的數(shù)據(jù)依次copy到new_array
     for (int j = 0; j < len; ++j) {
       new_array[j] = array[j];
     }
     // new_array 復(fù)制給 array，array 現(xiàn)在大小就是 2 倍 len 了
     array = new_array;
     len = 2 * len;
   }
   // 將 element 放到下標為 i 的位置，下標 i 加一
   array[i] = element;
   ++i;
}

參考回答：

以上代碼實現(xiàn)往一個數(shù)組中添加數(shù)據(jù)，要是數(shù)組放不下了就將數(shù)組擴大到原來2倍，然后再添加新元素。最壞情況時間復(fù)雜度是 O(n)，最好情況時間復(fù)雜度、平均情況時間復(fù)雜度、均攤時間復(fù)雜度都是 O(1)。